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単位荷重法による変位の求め方(静定トラスの場合)

一つ目の目的である変位を求める方法について述べよう. この方法は単位荷重法と呼ばれている.後の節 (1.3.3節)でも述べるように, 不静定構造にも単位荷重法を適用することができる. とりあえず本節では,静定構造の場合だけを考える. その一般的な手順は次の通りである.
1.
与えられた荷重の下で真の部材力を決定する(静定なので全て求まる).
2.
1.で求めた部材力に構成式を用いて部材ののびを求める. これと節点の変位を合わせた系は幾何学的に許容でなければならない (適合系 $(\mbox{\boldmath$u$ }, \delta)$ をなさなければならない).
3.
変位を求めたい点に,求めたい方向へ大きさ 1 の荷重を作用させた 時のつりあい系をつくる(これを $(\mbox{\boldmath$F$ }^*, N^*)$ とする).
4.
3.の $(\mbox{\boldmath$F$ }^*, N^*)$ をつりあい系と2.の $(\mbox{\boldmath$u$ }, \delta)$ を 適合系として仮想仕事を書き下す.

さて,具体的な例をみてみよう.

例題 7
Fig 1.11 のトラスの荷重点の下向きの変位を求めよ.
  
Figure 1.11: Young率 E,断面積 A
\begin{figure}
\begin{center}
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\epsfxsize=6cm
\epsffile{fig2-02.ps}
\end{center}\end{figure}

1.
力のつりあいと力の境界条件から真の部材力を求める(Fig 1.12 ). もちろん,このようにして求めた部材力は静力学的に許容である (具体的な計算は例題4を見られたい).
  
Figure 1.12:
\begin{figure}
\begin{center}
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\epsfxsize=4cm
\epsffile{fig2-03.ps}
\end{center}\end{figure}

2.
構成関係(式(9)の $\delta = N \ell/AE$) によって,のびが $\displaystyle \delta_1 = \delta_2
=\frac{P\ell}{\sqrt{2}AE}$ と求まる(Fig 1.13 ).
  
Figure 1.13:
\begin{figure}
\begin{center}
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\epsfxsize=4cm
\epsffile{fig2-04.ps}
\end{center}\end{figure}

3.
求めたい節点 2 に,求めたい方向 $\left({0\atop 1}\right)$ に大きさ 1 の荷重 $\mbox{\boldmath$F$ }^*$ を加えたときのつりあい系を 仮想のつりあい系とすればよい.これは,1.で求めた静力学的に許容な 真の部材力を利用してFig 1.14 のように決定できる.
  
Figure 1.14:
\begin{figure}
\begin{center}
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\epsfxsize=4cm
\epsffile{fig2-05.ps}
\end{center}\end{figure}

4.
2.で求めたのびが正解であるためには, のびと節点変位とを合わせた系が適合系をなさなければ ならない(既に変位の境界条件は満足させているから,幾何学的に許容 でなければならない,と言ってもよい)ことから,3.の仮想の つりあい系との間に仮想仕事の原理が成立しなくてはならない. したがって,

\begin{eqnarray*}\sum_i\mbox{\boldmath$F$ }_i^*\cdot\mbox{\boldmath$u$ }_i&=&\su...
...2}AE}}_{\delta}}_{右の部材}\\
∴\quad u_2 &=& \frac{P \ell}{AE}
\end{eqnarray*}


例題 8
Fig 1.15 の荷重点の変位を求めよ.
  
Figure 1.15: Young率 E,断面積 A
\begin{figure}
\begin{center}
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\epsfxsize=6cm
\epsffile{fig2-06.ps}
\end{center}\end{figure}

1.
真の部材力を求める(Fig 1.16 ).
  
Figure 1.16:
\begin{figure}
\begin{center}
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\epsfxsize=4cm
\epsffile{fig2-07.ps}
\end{center}\end{figure}

2.
構成関係と変位に関する境界条件よりのびを求めると, $\displaystyle\delta_1=\frac{P\ell}{\sqrt{2}AE}$ $\displaystyle\delta_2=- \frac{P\ell}{\sqrt{2}AE}$ となる (Fig 1.17 ).
  
Figure 1.17:
\begin{figure}
\begin{center}
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\epsfxsize=4cm
\epsffile{fig2-08.ps}
\end{center}\end{figure}

3.
仮想のつりあい系を決定する.

4.
2.の適合系と3.のつりあい系に仮想仕事の原理を適用する.

\begin{eqnarray*}\sum_i\mbox{\boldmath$F$ }_i^*\cdot\mbox{\boldmath$u$ }_i&=&\sum_I N_I^*\delta_I \\
\end{eqnarray*}


例題 9
Fig 1.20 のトラスの節点 1 の 2 つの変位成分を求めよ.
  
Figure 1.20: Young率 E,断面積 A
\begin{figure}
\begin{center}
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\epsfxsize=5cm
\epsffile{fig2-11.ps}
\end{center}\end{figure}

1.
真の部材力を求める(Fig 1.21 ).
  
Figure 1.21:
\begin{figure}
\begin{center}
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\epsfxsize=4cm
\epsffile{fig2-12.ps}
\end{center}\end{figure}

2.
構成関係よりのびを求める(Fig 1.22 ). これと節点変位は適合系をなさなければならない.
  
Figure 1.22:
\begin{figure}
\begin{center}
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\epsfxsize=6cm
\epsffile{fig2-13.ps}
\end{center}\end{figure}

3.
仮想のつりあい系を決定する.

4.
2.の適合系と3.のつりあい系に仮想仕事の原理を適用する.

\begin{eqnarray*}\sum_i\mbox{\boldmath$F$ }_i^*\cdot\mbox{\boldmath$u$ }_i = \sum_I N_I^*\delta_I
\end{eqnarray*}


例題 10
Fig 1.25 のトラスにおいて, 右上の節点が $\Delta$ だけ変位したときの点 A の x2 方向 の変位を求めよ.
  
Figure 1.25: Young率 E,断面積 A
\begin{figure}
\begin{center}
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\epsfxsize=6cm
\epsffile{fig2-16.ps}
\end{center}\end{figure}

1.
真の部材力を求める(Fig 1.26 ).
  
Figure 1.26:
\begin{figure}
\begin{center}
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\epsfxsize=4cm
\epsffile{fig2-17.ps}
\end{center}\end{figure}

2.
構成式と変位に関する境界条件よりのびを求める(Fig 1.27 ).
  
Figure 1.27:
\begin{figure}
\begin{center}
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\epsfxsize=5cm
\epsffile{fig2-18.ps}
\end{center}\end{figure}

3.
仮想のつりあい系を決定する(Fig 1.28 ).
  
Figure 1.28:
\begin{figure}
\begin{center}
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\epsfxsize=6cm
\epsffile{fig2-19.ps}
\end{center}\end{figure}

4.
2.の適合系と3.のつりあい系に仮想仕事の原理を適用する.

\begin{eqnarray*}\sum_i\mbox{\boldmath$F$ }_i^*\cdot\mbox{\boldmath$u$ }_i&=&\su...
...lta_I \\
0+u_2+\Delta/2 &=& 0 \\
∴u_2 &=& - \frac{\Delta}{2}
\end{eqnarray*}


例題 11
Fig 1.29 のトラスの右側の部材の温度が $\Delta t$ だけ 上昇した時の点 A の x1 方向の変位を求めよ.
  
Figure 1.29: 断面積 A,Young率 E,線膨張率 $\alpha $
\begin{figure}
\begin{center}
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\epsfxsize=6cm
\epsffile{fig2-20.ps}
\end{center}\end{figure}

1.
真の部材力を求める(Fig 1.30 ).
  
Figure 1.30:
\begin{figure}
\begin{center}
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\epsfxsize=4cm
\epsffile{fig2-21.ps}
\end{center}\end{figure}

2.
構成関係と変位に関する境界条件よりのびを求める.ここで, 構成式は $\displaystyle\delta = \frac{N \ell}{AE} + \delta_0$ であって,$\delta_0$ が温度の影響を表している. 線膨張率が $\alpha $,温度上昇が $\delta t$ の場合には, $\delta_0 = \triangle t\alpha \ell$ と書ける. したがって,次のようにのびが求まる(Fig 1.31 ).
  
Figure 1.31:
\begin{figure}
\begin{center}
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\epsfxsize=4cm
\epsffile{fig2-22.ps}
\end{center}\end{figure}

3.
仮想のつりあい系を決定する(Fig 1.32 ).
  
Figure 1.32:
\begin{figure}
\begin{center}
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\epsfxsize=4cm
\epsffile{fig2-23.ps}
\end{center}\end{figure}

4.
2.の適合系と3.のつりあい系に仮想仕事の原理を適用する.

\begin{eqnarray*}\sum_i\mbox{\boldmath$F$ }_i^*\cdot\mbox{\boldmath$u$ }_i&=&\su...
...ll \\
∴\quad u_1 &=& -\frac{1}{\sqrt{2}}\triangle t\alpha\ell
\end{eqnarray*}



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Ken-ichi Yoshida
2001-04-18