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Castiglianoの定理

トラスの変位を求めるために単位荷重法を既に学んだ. トラスが弾性体であるとした場合には,トラスの変位を求める には次のCastiglianoの定理が便利である.

定理    Castiglianoの定理 : トラスの真の部材力 $(N,\mbox{\boldmath$F$ })$ が既に決定されているとする. このとき,ある節点のある方向への変位は次のように求められる.
$\displaystyle \left.\frac{\partial \Pi^* (N+QN^*,\mbox{\boldmath$F$ }+Q\mbox{\boldmath$F$ }^*)}{\partial Q}\right\vert _{Q=0}$     (18)

ここに, $(N^*,\mbox{\boldmath$F$ }^*)$ は,変位を求めたい節点に求めたい方向に大きさ 1 の 荷重を作用させたときの(任意の)つりあい系である.特に,ある荷重 P が 作用している問題において,P の作用点の P 方向の変位は
$\displaystyle \frac{\partial \Pi^*(N,\mbox{\boldmath$F$ })}{\partial P}$     (19)

で求められる.
[証明]まず,前半部分の証明を与えよう.補ひずみエネルギーの定義より,

\begin{eqnarray*}\frac{\partial \Pi^* (N+QN^*,\mbox{\boldmath$F$ }+Q\mbox{\boldm...
...知の節点}}}\mbox{\boldmath$u$ }_i^0\cdot\mbox{\boldmath$F$ }_i^*
\end{eqnarray*}


と計算できる.Q=0 として, $\partial W^*(N_I)/\partial N_I $W* の 定義(15)により $\delta_{I}$ となることに注意すれば,

\begin{eqnarray*}\left.\frac{\partial \Pi^* (N+QN^*,\mbox{\boldmath$F$ }+Q\mbox{...
...知の節点}}}\mbox{\boldmath$u$ }^0_i\cdot\mbox{\boldmath$F$ }_i^*
\end{eqnarray*}


となる.ここで, $(\delta_I,\mbox{\boldmath$u$ }_i)$ は適合系, $(N^*,\mbox{\boldmath$F$ }_i^*)$ はつりあい系であるから,これらに対して仮想仕事の原理

\begin{eqnarray*}\sum_I\delta_I N_I^*&=&\sum_i\mbox{\boldmath$u$ }_i\cdot\mbox{\...
...点}}}\right)
\mbox{\boldmath$u$ }_i\cdot\mbox{\boldmath$F$ }_i^*
\end{eqnarray*}


が成立している.したがって,

\begin{eqnarray*}\left.\frac{\partial \Pi^* (N+QN^*,\mbox{\boldmath$F$ }+Q\mbox{...
...知の節点}}}\mbox{\boldmath$u$ }^0_i\cdot\mbox{\boldmath$F$ }_i^*
\end{eqnarray*}


を得る.ここで,節点力 $\mbox{\boldmath$F$ }_i$ が,変位を求めたい節点に求めたい方向に だけ作用しているとすれば,上式の右辺が表している量は求めたい変位に他ならない.

後半部分を証明しよう. 簡単のために荷重が P のみの時について証明する. $(N^*,\mbox{\boldmath$F$ }^*)$ として $(N/P,\mbox{\boldmath$F$ }/P)$ をとることができる. したがって,N=P N* $\mbox{\boldmath$F$ }=P\mbox{\boldmath$F$ }^*$ である.このとき,

\begin{eqnarray*}\Pi^*(N+QN^*,\mbox{\boldmath$F$ }+Q\mbox{\boldmath$F$ }^*) =
\...
...+Q \right) N^*,\left( P+Q \right) \mbox{\boldmath$F$ }^* \right)
\end{eqnarray*}


であるから,

\begin{eqnarray*}\left. \frac{\partial \Pi^*}{\partial Q} \right\vert _{Q=0}
= \...
...*)
= \frac{\partial \Pi^* (N,\mbox{\boldmath$F$ })}{\partial P}
\end{eqnarray*}


[証明終]

例題 19
Fig 1.62 のトラスについて,荷重の作用点での変位を 求めよ(断面積 A,Young率 E)
  
Figure 1.62: 静定トラス
\begin{figure}
\begin{center}
\leavevmode
\epsfxsize=6cm
\epsffile{fig3-23.ps}
\end{center}\end{figure}

真の部材力はFig 1.63 のようである.
  
Figure 1.63:
\begin{figure}
\begin{center}
\leavevmode
\epsfxsize=6cm
\epsffile{fig3-24.ps}
\end{center}\end{figure}

まず,荷重の作用方向 (x2 方向) の変位 u2 を求めよう. このためには Castiglianoの定理の後半部分を適用すれば十分である. すなわち,

\begin{eqnarray*}\Pi^* &=& \frac{\ell}{2AE} \left( \frac{P}{\sqrt{2}} \right)^2 \times 2
= \frac{ P^2 \ell}{2AE}\\
\end{eqnarray*}


となる.ゆえに,

\begin{eqnarray*}u_2 &=&\frac{\partial \Pi^*}{\partial P} = \frac{P \ell}{AE}
\end{eqnarray*}


を得る.

もちろん,次のようにCastiglianoの定理の前半部分を用いても解ける. すなわち,

\begin{eqnarray*}\Pi^*(N+QN^*,\mbox{\boldmath$F$ }+Q\mbox{\boldmath$F$ }^*)&=&\f...
...\partial \Pi^*}{\partial P}\right\vert _{Q=0}
=\frac{P\ell}{AE}
\end{eqnarray*}


となる.

続いて x1 方向の変位 u1 を求めよう.仮想のつりあい系としては

  
Figure 1.64:
\begin{figure}
\begin{center}
\leavevmode
\epsfxsize=5cm
\epsffile{fig4-03.ps}
\end{center}\end{figure}

Fig 1.64 のようなものが取れるから,

\begin{eqnarray*}\Pi^*(N+QN^*,\mbox{\boldmath$F$ }+Q\mbox{\boldmath$F$ }^*)=\fra...
...^2
+\left(\frac{P}{\sqrt{2}}-\frac{Q}{\sqrt{2}}\right)^2\right\}
\end{eqnarray*}


と計算される.ゆえに,

\begin{eqnarray*}u_1 = \left.\frac{\partial\Pi^*}{\partial Q}\right\vert _{Q=0}
...
...ell}{2AE}\left.\left\{(P+Q)+(Q-P)\right\}\right\vert _{Q=0}
= 0
\end{eqnarray*}


を得る.

例題 20
Fig 1.65 のトラスのA点での変位を 求めよ (断面積 A,Young率 E)
  
Figure 1.65: 静定トラス
\begin{figure}
\begin{center}
\leavevmode
\epsfxsize=8cm
\epsffile{fig4-07.ps}
\end{center}\end{figure}

真のつりあい系および変位の境界条件は Fig 1.66 およびFig 1.67 の通りである.
  
Figure 1.66: 静定トラス
\begin{figure}
\begin{center}
\leavevmode
\epsfxsize=5cm
\epsffile{fig4-08.ps}
\end{center}\end{figure}


  
Figure 1.67:
\begin{figure}
\begin{center}
\leavevmode
\epsfxsize=5cm
\epsffile{fig4-09.ps}
\end{center}\end{figure}

まず,x2 方向の変位 u2 を求めよう.このときの仮想のつりあい 系はFig 1.68 の通りである.
  
Figure 1.68:
\begin{figure}
\begin{center}
\leavevmode
\epsfxsize=7cm
\epsffile{fig4-10.ps}
\end{center}\end{figure}

したがって,

\begin{eqnarray*}\Pi^*(N+QN^*,\mbox{\boldmath$F$ }+Q\mbox{\boldmath$F$ }^*)&=&\f...
...ath$F$ }_i^*\right)\\
&=&\frac{\ell}{2AE}Q^2-\frac{\Delta}{2}Q
\end{eqnarray*}


を得る.ゆえに,

\begin{eqnarray*}u_2 = \left. \frac{\partial \Pi^*}{\partial Q} \right\vert _{Q=...
...} -\frac{\Delta}{2} \right)\right\vert _{Q=0}
=-\frac{\Delta}{2}
\end{eqnarray*}


となる.

次に,u2 を求めよう.仮想のつりあい系は Fig 1.69 の通りである.

  
Figure 1.69:
\begin{figure}
\begin{center}
\leavevmode
\epsfxsize=7cm
\epsffile{fig4-11.ps}
\end{center}\end{figure}

したがって,

\begin{eqnarray*}&&\Pi^* (N+QN^*,\mbox{\boldmath$F$ }+Q\mbox{\boldmath$F$ }^*)\\...
...math$F$ }_i^*\right)\\
&=&\frac{\ell}{2AE}Q^2+\frac{\Delta}{2}Q
\end{eqnarray*}


を得る.ゆえに,

\begin{eqnarray*}u_2=\left.\frac{\partial\Pi^*}{\partial Q}\right\vert _{Q=0}
=\...
...{AE}+\frac{\Delta}{2}\right)\right\vert _{Q=0}
=\frac{\Delta}{2}
\end{eqnarray*}


となる.

例題 21
Fig 1.70 のトラスのA点での x2 方向の 変位 u2 を求めよ (断面積 A,Young率 E, 線膨張率 $\alpha $).
  
Figure 1.70: 静定トラス
\begin{figure}
\begin{center}
\leavevmode
\epsfxsize=7cm
\epsffile{fig4-12.ps}
\end{center}\end{figure}

熱ひずみ $\delta_0$ を有するトラスの補ひずみエネルギーが 次のように書けることを再記しておく.

\begin{eqnarray*}\displaystyle W^* &=& \frac{N^2 \ell}{2AE}+\delta_0 N\\
\delta_0 &=& \alpha\Delta t\ell
\end{eqnarray*}


仮想のつりあい系はFig 1.71 の通りである.
  
Figure 1.71:
\begin{figure}
\begin{center}
\leavevmode
\epsfxsize=6cm
\epsffile{fig4-14.ps}
\end{center}\end{figure}

したがって,

\begin{eqnarray*}\Pi^*(N+QN^*,\mbox{\boldmath$F$ }+Q\mbox{\boldmath$F$ }^*)
&=&\...
...}\right)
+\frac{\ell}{2AE}\left( 0+\frac{Q}{\sqrt{2}} \right)^2
\end{eqnarray*}


となる.ゆえに,

\begin{eqnarray*}u_2=\left.\frac{\partial \Pi^*}{\partial Q} \right\vert _{Q=0}
=\frac{\delta_0}{\sqrt{2}}= \frac{\alpha\Delta t\ell}{\sqrt{2}}
\end{eqnarray*}


上に示した例題は全て静定トラスであるが,Castiglianoの定理は 不静定トラスであっても適用できる.不静定トラスの場合は,まず 不静定トラスの解析を行って部材力を完全に決定しておく必要があるだけで, 部材力が決定した後の手続きは静定トラスと同じである.しかし, 次の二点に注意すると計算を有利に進めることができる.

注意1
仮想のつりあい系は,変位を求めたい点に求めたい 方向へ大きさ 1 の荷重のかかっているものであればなんでもよい. すなわち,できるだけ簡単なものを 選択すればよい(この事情は1.3.3節で述べたことと同じである).
注意2
荷重 P が作用している点の変位 は $\displaystyle\frac{\partial \Pi^*(N+\mbox{\boldmath$F$ })}{\partial P}$ で 求められることは既に述べたが, $\Pi^*(N+\mbox{\boldmath$F$ })$N が ``N0= 不静力 n に依らない部分''と`` $\tilde{N}(n)=$ n に依る部分'' とに分解できることに注意すると,偏微分の連鎖公式により,

\begin{eqnarray*}\frac{\partial\Pi^*}{\partial P}
=\sum_I\frac{\partial\Pi^*}{\p...
...tial\tilde{N}}
\frac{\partial\tilde{N}}{\partial n}\frac{dn}{dP}
\end{eqnarray*}


と書ける.$\tilde{N}$ の定義により右辺第二項は 0 であり, 右辺第三項も補ポテンシャルエネルギー停留原理により 0 である. したがって, $\displaystyle\frac{\partial\Pi^*}{\partial P}$ の 計算において,不静定力はあたかも P に依らないと思って微分してよい. 微分した後で n=n(P) を代入すれば,求める変位が計算できる
上記二点を踏まえて例題を解いてみよう.
例題 22
Fig 1.72 のトラスについて,荷重の作用点の 変位を求めよ (断面積 A,Young率 E)
  
Figure 1.72: 断面積 A,Young率 E
\begin{figure}
\begin{center}
\leavevmode
\epsfxsize=6cm
\epsffile{fig4-15.ps}
\end{center}\end{figure}

まず,真の部材力を決定する( $n=P/(1+1/\sqrt{2})$)(Fig 1.73 ).
  
Figure 1.73:
\begin{figure}
\begin{center}
\leavevmode
\epsfxsize=6cm
\epsffile{fig4-16.ps}
\end{center}\end{figure}

次に,仮想のつりあい系を決定し,変位の境界条件(Fig 1.74 )を考慮して 補ポテンシャルエネルギー $\Pi^*$ を求める.
  
Figure 1.74:
\begin{figure}
\begin{center}
\leavevmode
\epsfxsize=6cm
\epsffile{fig4-25.ps}
\end{center}\end{figure}

を得る.


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Ken-ichi Yoshida
2001-04-18