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相反性定理

定理    相反性定理(Reciprocity theorem) : あるトラスの構成関係が線形,すなわち $\delta = N \ell/AE$ であるとする.このトラスの二つの境界値問題の 解を $(\mbox{\boldmath$u$ }^{(1)},\mbox{\boldmath$F$ }^{(1)},\delta^{(1)},N^{(1)})$ および $(\mbox{\boldmath$u$ }^{(2)},
\mbox{\boldmath$F$ }^{(2)},\delta^{(2)},N^{(2)})$ とする.このとき次式が成り立つ.
$\displaystyle \sum_i \mbox{\boldmath$F$ }_i^{(1)} \cdot \mbox{\boldmath$u$ }_i^{(2)} = \sum_i \mbox{\boldmath$F$ }_i^{(2)} \cdot \mbox{\boldmath$u$ }_i^{(1)}$     (20)

[証明]

\begin{eqnarray*}\sum_i \mbox{\boldmath$F$ }_i^{(1)} \cdot \mbox{\boldmath$u$ }_...
... \mbox{\boldmath$u$ }_i^{(1)} \cdot \mbox{\boldmath$F$ }_i^{(2)}
\end{eqnarray*}


[証明終]

これまで述べた定理との関係をまとめると以下の通りである.

定理 制約事項  
仮想仕事 構成式に関係なし 一般
エネルギー原理 弾性体でのみ適用可 $\updownarrow$
相反性定理 線形弾性体でのみ適用可 特殊


Ken-ichi Yoshida
2001-04-18