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変形


  
Figure 2.1: 弾性体の変形
\begin{figure}
\begin{center}
\leavevmode
\epsfxsize=8cm
\epsffile{fig5-03.ps}
\end{center}\end{figure}

変形の尺度としてはひずみが用いられる.ひずみは 9つの成分からなり,それを $\epsilon_{ij} (i,j=1,2,3)$ と表す. $\epsilon_{11}$ $\epsilon_{22}$ $\epsilon_{33}$直ひずみと呼ぶ.例えば, $\epsilon_{11}$

\begin{eqnarray*}\epsilon_{11}=
\frac{\mbox{$x_1$\space 方向の変形後の長さ}-\mbo...
...ace 方向の変形前の長さ}}
{\mbox{$x_1$\space 方向の変形前の長さ}}
\end{eqnarray*}


と定義される.ここでFig 2.2 のような線形弾性体の微小要素 を考えれば,

\begin{eqnarray*}\mbox{変形前の長さ} &=& dx_1 \\
\mbox{変形後の長さ} &=& dx_1 + u_1(x_1+dx_1)-u_1(x_1)
\end{eqnarray*}


であるから, $dx_1\rightarrow 0$ の極限において,

\begin{eqnarray*}\epsilon_{11}=\frac{\left\{ dx_1 + u_1(x_1+dx_1)-u_1(x_1) \right\}
-dx_1 }{dx_1}
\rightarrow \frac{\partial u_1}{\partial x_1}
\end{eqnarray*}


を得る.同様にx2x3 方向の直ひずみ $\epsilon_{22}$ $\epsilon_{33}$ は,

\begin{eqnarray*}\epsilon_{22} = \frac{\partial u_2}{\partial x_2},\quad
\epsilon_{33} = \frac{\partial u_3}{\partial x_3}
\end{eqnarray*}


と計算される.
  
Figure 2.2: 線形弾性体の微小要素
\begin{figure}
\begin{center}
\leavevmode
\epsfxsize=8cm
\epsffile{fig5-04.ps}
\end{center}\end{figure}

その他のひずみ成分をせん断ひずみと呼び,

\begin{eqnarray*}\epsilon_{12}=\frac{1}{2}(\theta_1 + \theta_2)
\end{eqnarray*}


などと定義する.ここに,$\theta_1$ および $\theta_2$ は Fig 2.3 のような角度を表しており,微小変形の場合には, Fig 2.4 のように変位によって表現される.したがって,

\begin{eqnarray*}\epsilon_{12} = \frac{1}{2}
\left( \frac{\partial u_2}{\partial x_1}
+\frac{\partial u_1}{\partial x_2} \right)
\end{eqnarray*}


と書ける.
  
Figure 2.3: せん断変形
\begin{figure}
\begin{center}
\leavevmode
\epsfxsize=6cm
\epsffile{fig5-05.ps}
\end{center}\end{figure}


  
Figure 2.4: 微小変形を仮定した場合のせん断変形
\begin{figure}
\begin{center}
\leavevmode
\epsfxsize=8cm
\epsffile{fig5-06.ps}
\end{center}\end{figure}

結局,直ひずみとせん断ひずみはまとめて

\begin{eqnarray*}\epsilon_{ij}=\frac{1}{2}
\left(\frac{\partial u_i}{\partial x_j}
+\frac{\partial u_j}{\partial x_i} \right)
\end{eqnarray*}


と表すことができる.

Ken-ichi Yoshida
2001-04-18