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表面力と応力

まず,物体がつりあっているとは,``物体に作用する力の合力と 合モーメントがそれぞれ零''であることをいう(Fig 2.5 ). すなわち,

\begin{eqnarray*}\sum_i \mbox{\boldmath$F$ }_i &=&{\bf0}\\
\sum_i \mbox{\boldmath$x$ }_i\times\mbox{\boldmath$F$ }_i&=&{\bf0}
\end{eqnarray*}


である.
  
Figure 2.5: 物体のつりあい
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\epsfxsize=6cm
\epsffile{fig5-07.ps}
\end{center}\end{figure}

連続体内部に生じる力について考えてみよう. いま,連続体の内部に仮想的な微小切断面 (面積を dA とする) を とり,その切断面に単位法線ベクトルを $\mbox{\boldmath$n$ }$ を設けておく. ここで, $d\mbox{\boldmath$F$ }$ $\mbox{\boldmath$n$ }$ の向いている側の物質が dA を 通して $(-\mbox{\boldmath$n$ })$ の向いている側の物質に及ぼす力であるとする.

  
Figure 2.6: 連続体内部に設けた仮想的な微小切断面
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\epsfxsize=6cm
\epsffile{fig5-08.ps}
\end{center}\end{figure}

このとき,

\begin{eqnarray*}\mbox{\boldmath$t$ }(\mbox{\boldmath$x$ },\mbox{\boldmath$n$ })&=&\lim_{dA\rightarrow 0}
\frac{d\mbox{\boldmath$F$ }}{dA}
\end{eqnarray*}


と定義されるベクトル $\mbox{\boldmath$t$ }$表面力(traction)と呼ぶ. ここで,微小切断面上でのつりあいにより(Fig 2.7 ),

\begin{eqnarray*}\mbox{\boldmath$t$ }(\mbox{\boldmath$x$ },-\mbox{\boldmath$n$ })=-\mbox{\boldmath$t$ }(\mbox{\boldmath$x$ },\mbox{\boldmath$n$ })
\end{eqnarray*}


が成立する.
  
Figure 2.7: 微小切断面上のつりあい
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\epsfxsize=6cm
\epsffile{fig5-09.ps}
\end{center}\end{figure}

さて,Cauchyの式と呼ばれる公式を誘導してみる. ここでは,簡単のために二次元の場合について考える. いま,Fig 2.8 および2.9のような微小三角形の つりあい式を立てると,

\begin{eqnarray*}{\bf0} = \mbox{\boldmath$t$ }(\mbox{\boldmath$n$ })ds +\mbox{\b...
...ta +\mbox{\boldmath$t$ }(-\mbox{\boldmath$i$ }_1)ds \cos \theta
\end{eqnarray*}


が得られる.
  
Figure 2.8: 二次元の微小三角形
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\epsfxsize=8cm
\epsffile{fig5-10.ps}
\end{center}\end{figure}


  
Figure 2.9: 二次元の微小三角形
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\epsfxsize=7cm
\epsffile{fig5-11.ps}
\end{center}\end{figure}

ここで上式を,

\begin{eqnarray*}\mbox{\boldmath$t$ }(\mbox{\boldmath$n$ }) = \mbox{\boldmath$t$...
...ath$i$ }_1)n_1 + \mbox{\boldmath$t$ }(\mbox{\boldmath$i$ }_2)n_2
\end{eqnarray*}


と書き,記号

\begin{eqnarray*}\mbox{\boldmath$t$ }(\mbox{\boldmath$i$ }_1) = (\tau_{11},\tau_...
...\boldmath$t$ }(\mbox{\boldmath$i$ }_2) = (\tau_{12},\tau_{22})^T
\end{eqnarray*}


を導入すると,

\begin{eqnarray*}\left(\begin{array}{c}
t_1 \\ t_2
\end{array}\right)
&=&
\lef...
...y} \right)
\left( \begin{array}{c}
n_1 \\ n_2
\end{array}\right)
\end{eqnarray*}


すなわち
 
$\displaystyle t_i = \sum_j \tau_{ij} n_j$     (22)

が得られる.上式をCauchyの式と呼ぶ.三次元の場合には 式(22)で添字の範囲を3まで取ればそのまま成立する. ここで,$\tau_{11}$$\tau_{22}$$\tau_{33}$ を直応力, その他の成分をせん断応力と呼ぶ(Fig 2.10 ).

さらに,Fig 2.10 の微小長方形に対して モーメントのつりあい式をたてれば,

\begin{eqnarray*}\tau_{12}=\tau_{21}
\end{eqnarray*}


を得る.同様にして

\begin{eqnarray*}\tau_{13}=\tau_{31},\quad
\tau_{23}=\tau_{32}
\end{eqnarray*}


も得られる.すなわち応力は対称である.
  
Figure 2.10: 応力成分
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\epsfxsize=6cm
\epsffile{fig5-12.ps}
\end{center}\end{figure}



Ken-ichi Yoshida
2001-04-18