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仮想仕事の原理

定理    仮想仕事の原理(一本のはりの場合) : (M,Q,N,Fl,r,ml,r,p) がつりあい系であり, $(y,\theta,\phi,\mbox{\boldmath$u$ }^{l,r},\theta^{l,r})$ が適合系であるとする. このとき次式が成立する.
$\displaystyle \sum_{\scriptsize 両端} \mbox{\boldmath$F$ }^* \cdot \mbox{\boldmath$u$ }
+ \sum_{\scriptsize 両端} m^* \theta + \int p^* y dx
= \int M^* \phi dx$     (34)

[証明]

\begin{eqnarray*}右辺 &=& \int_0^L M^* \phi dx = - \int_0^L M^* y''dx \\
&\unde...
...ell^* \cdot \mbox{\boldmath$u$ }_\ell + \int_0^L p^* y dx = 左辺
\end{eqnarray*}


(*)について以下の関係を用いた.

\begin{eqnarray*}&& M^*(L) = -m^r,\quad y'(L) = \theta^r,\quad
M^*(0) =-m^l,\qu...
...ath$u$ }^l=\left(\begin{array}{c}
u_1 \\ y(0)\end{array}\right)
\end{eqnarray*}


また,

\begin{eqnarray*}\mbox{\boldmath$F$ }^{r*} \cdot \mbox{\boldmath$u$ }^r = Q^*(L)...
...F$ }_{l*} \cdot \mbox{\boldmath$u$ }^l = -Q^*(0) y(0) - N^* u_1
\end{eqnarray*}


[証明終]

なお,次の3点に注意されたい.

注意1
つりあい系と適合系とは,何らかの関係で結ばれている 必要はない.特に仮想仕事と構成関係とは無関係である.

注意2
軸力について,直線ばりでは多くの場合 N=0 である. N は ( $\mbox{\boldmath$F$ }^*\cdot\mbox{\boldmath$u$ }$) の第一成分にのみ関係しているので, 多くの直線ばりではこの項をおとせる.つまり、 $\mbox{\boldmath$F$ }^* \cdot \mbox{\boldmath$u$ }= (\mbox{\boldmath$F$ }^*)_2 (\mbox{\boldmath$u$ })_2$

注意3
( $\mbox{\boldmath$F$ }^*\cdot\mbox{\boldmath$u$ }$),($m^*\theta$) の項における諸量の正の向きは, ( $\mbox{\boldmath$F$ }^*,\mbox{\boldmath$u$ }$),( $m^*,\theta$) を各々ペアにして変えてもよい.
  
Figure 2.26: 符合のペア
\begin{figure}
\begin{center}
\leavevmode
\epsfxsize=6cm
\epsffile{fig6-09.ps}
\end{center}\end{figure}

つまり,Fig 2.26 のように「両方、時計回り」を「 両方、反時計回り」にしてもよいが、「一方は時計回り,一方は反時計回り」 にしてはいけない.


Ken-ichi Yoshida
2001-04-18