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仮想仕事の原理の応用

ここでは,仮想仕事の原理を応用した例として,変位(たわみ),たわみ角を求め る方法(単位荷重法)や不静定構造の解法について述べる.

変位の求め方
以下に変位を求める方法の手順を記述し, それに従って例題を解いていく.
1.
真の静力学的に許容な断面力 M を求める.
2.
M に構成関係を用いて,曲率 $\phi$ を求める.

\begin{eqnarray*}\left( 2 の~\phi~と変形に関する\mbox{B.C.}とを考慮した
\underbr...
...},~\theta,~y)}_{(A)}
は,\mbox{K.A.}でなければならない.\right)
\end{eqnarray*}


3.
変位を求めたい点に求めたい方向へ大きさ「1」の 荷重のみを作用させた時の任意のつりあい系を $\underbrace{(\mbox{\boldmath$F$ }^*,~m^*,~p^*,~M^*)}_{(B)}$とする.
4.
(A)を適合系,(B)をつりあい系として,これらの間に 仮想仕事を適用する.
たわみ角の求め方
以下にたわみ角を求める方法の手順を記述し, それに従って例題を解いていく.
1.
真の静力学的に許容な断面力 M を求める.
2.
M に構成関係を用いて,曲率 $\phi$ を求める.

\begin{eqnarray*}\left( 2 の~\phi~と変形に関する\mbox{B.C.}とを考慮した
\underbr...
...},~\theta,~y)}_{(A)}
は,\mbox{K.A.}でなければならない.\right)
\end{eqnarray*}


3.
変位を求めたい点に求めたい方向へ大きさ「1」の (外力の)モーメントのみを作用させた時の任意のつりあい系を $\underbrace{(\mbox{\boldmath$F$ }^*,~m^*,~p^*,~M^*)}_{(B)}$とする.
4.
(A)を適合系,(B)をつりあい系として,これらの間に 仮想仕事を適用する.
例題
下図の片持ち梁の右端に集中荷重Pが作用しているときの, $y(\ell),\theta(\ell)$を求めよ.(EI:一定.梁の変形に関する $\mbox{B.C.} : y(0)=0,\theta(0)=0$)
\begin{figure}%
\begin{center}
\leavevmode
\epsfxsize=4cm
\epsffile{fig6-14.ps}
\end{center}\end{figure}
1.
真のつりあい系のMを求める.
\begin{figure}
\begin{center}
\leavevmode
\epsfxsize=4cm
\epsffile{fig6-15.ps}
\end{center}\end{figure}
M = - P x'

2.
構成関係から$\phi$を求める.

\begin{eqnarray*}M=EI\phi~\Rightarrow~\phi= - \frac{P}{EI}x'
\end{eqnarray*}


  $\mbox{$\bullet$}$
たわみ$y(\ell)$
3.
右端に単位荷重をかけた仮想のつりあい系でのM*を計算する.
\begin{figure}
\begin{center}
\leavevmode
\epsfxsize=4cm
\epsffile{fig6-16.ps}
\end{center}\end{figure}
M* = -x'

4.
真の系と仮想系に仮想仕事の原理を適用する.

\begin{eqnarray*}\sum_i \underbrace{F_2^*~y}_{\mbox{\boldmath$F$ }_i^* \cdot \mb...
...i} +
\sum_i m_i^*~\theta_i + \int p^*~y dx &=& \int M^*~\phi~dx
\end{eqnarray*}



\begin{eqnarray*}F_2^*(0)~\underbrace{y(0)}_{0}
+\underbrace{F_2^*(\ell)}_{1}~y(...
...{EI}x' \right)}_{\phi} dx'なので,
y(\ell)&=&\frac{P}{3EI}\ell^3
\end{eqnarray*}




(注意) y(0) 等は,y|x=0 の意味, y|x'=0 ではない. 以下同様である.
  $\mbox{$\bullet$}$
たわみ角 $\theta(\ell)$
3.
右端に単位モーメントをかけた仮想のつりあい系でのM*を計算する.
\begin{figure}
\begin{center}
\leavevmode
\epsfxsize=4cm
\epsffile{fig6-20.ps}
\end{center}\begin{eqnarray*}
M^* = -1
\end{eqnarray*}\end{figure}
4.
真の系と仮想系に仮想仕事の原理を適用する.

\begin{eqnarray*}\sum_i \underbrace{F_2^*~y}_{\mbox{\boldmath$F$ }_i^* \cdot \mb...
...i} +
\sum_i m_i^*~\theta_i + \int p^*~y dx &=& \int M^*~\phi~dx
\end{eqnarray*}



\begin{eqnarray*}F_2^*(0)~\underbrace{y(0)}_{0}
+\underbrace{F_2^*(\ell)}_{0}~y(...
...' \right)}_{\phi} dx'なので,
\theta(\ell)&=&\frac{P}{2EI}\ell^2
\end{eqnarray*}


例題
下図の片持ち梁に分布荷重pが作用しているときの, $y(\ell),\theta(\ell)$を求めよ.(EI : 一定.梁の変形に関する $\mbox{B.C.} : y(0)=0,\theta(0)=0$)
\begin{figure}%
\begin{center}
\leavevmode
\epsfxsize=4cm
\epsffile{fig6-17.ps}
\end{center}\end{figure}
1.
真のつりあい系のMを求める.

\begin{figure}
\begin{center}
\leavevmode
\epsfxsize=4cm
\epsffile{fig6-18.ps}
\end{center}\end{figure}

\begin{eqnarray*}上図より, M= -\frac{p}{2}(x')^2
\end{eqnarray*}


2.
構成関係から$\phi$を求める.

\begin{eqnarray*}M=EI \phi~\Rightarrow~\phi = - \frac{p}{2EI}(x')^2
\end{eqnarray*}


  $\mbox{$\bullet$}$
たわみ$y(\ell)$
3.
右端に単位荷重をかけた仮想のつりあい系でのM*を計算する.
\begin{figure}
\begin{center}
\leavevmode
\epsfxsize=4cm
\epsffile{fig6-19.ps}
\end{center}\end{figure}
M* = -x'

4.
真の系と仮想系に仮想仕事の原理を適用する.

\begin{eqnarray*}\sum_i \underbrace{F_2^*~y}_{\mbox{\boldmath$F$ }_i^* \cdot \mb...
...i} +
\sum_i m_i^*~\theta_i + \int p^*~y dx &=& \int M^*~\phi~dx
\end{eqnarray*}



\begin{eqnarray*}F_2^*(0)~\underbrace{y(0)}_{0}
+\underbrace{F_2^*(\ell)}_{1}~y...
...)^2 \right)}_{\phi} dx'なので,
~y(\ell)&=&\frac{p}{8EI}\ell^4
\end{eqnarray*}


  $\mbox{$\bullet$}$
たわみ角 $\theta(\ell)$
3.
右端に単位モーメントをかけた仮想のつりあい系でのM*を計算する.
\begin{figure}
\begin{center}
\leavevmode
\epsfxsize=4cm
\epsffile{fig6-21.ps}
\end{center} \begin{eqnarray*}
M^* = -1
\end{eqnarray*} \end{figure}
4.
真の系と仮想系に仮想仕事の原理を適用する.

\begin{eqnarray*}\sum_i \underbrace{F_2^*~y}_{\mbox{\boldmath$F$ }_i^* \cdot \mb...
...i} +
\sum_i m_i^*~\theta_i + \int p^*~y dx &=& \int M^*~\phi~dx
\end{eqnarray*}



\begin{eqnarray*}F_2^*(0)~\underbrace{y(0)}_{0}
+\underbrace{F_2^*(\ell)}_{0}~y...
...right)}_{\phi} dx'なので,
~\theta(\ell)&=&\frac{p}{6EI}\ell^3
\end{eqnarray*}


例題
下図の単純梁の中央に集中荷重Pが作用しているときの, $y(\ell/2),\theta(\ell)$を求めよ.(EI : 一定.梁の変形に関する $\mbox{B.C.} : y(0)=y(\ell)=0$)
\begin{figure}%
\begin{center}
\leavevmode
\epsfxsize=6cm
\epsffile{fig6-900.ps}
\end{center}\end{figure}
1.
真のつりあい系のMを求める.

\begin{eqnarray*}M= \frac{Px}{2} (0 \le x \le \ell/2) ,
\frac{P(\ell - x)}{2} (\ell/2 \le x \le \ell)
\end{eqnarray*}


2.
構成関係から$\phi$を求める.

\begin{eqnarray*}M=EI \phi~\Rightarrow~\phi = \frac{Px}{2EI} (0 \le x \le \ell/2) ,
\frac{P(\ell - x)}{2EI} (\ell/2 \le x \le \ell) ,
\end{eqnarray*}


  $\mbox{$\bullet$}$
たわみ$y(\ell/2)$
3.
中央に単位荷重をかけた仮想のつりあい系でのM*を計算する.
\begin{figure}
\begin{center}
\leavevmode
\epsfxsize=6cm
\epsffile{fig6-901.ps}
\end{center}\end{figure}

\begin{eqnarray*}M^* = \frac{x}{2} (0 \le x \le \ell/2) ,
\frac{(\ell - x)}{2} (\ell/2 \le x \le \ell)
\end{eqnarray*}


4.
真の系と仮想系に仮想仕事の原理を適用する.

\begin{eqnarray*}\sum_i \underbrace{F_2^*~y}_{\mbox{\boldmath$F$ }_i^* \cdot \mb...
...i} +
\sum_i m_i^*~\theta_i + \int p^*~y dx &=& \int M^*~\phi~dx
\end{eqnarray*}



\begin{eqnarray*}\lefteqn {F_2^*(0)~\underbrace{y(0)}_{0}+\underbrace{F_2^*(\ell...
...2EI} \right)}_{\phi} dxなので,
~y(\ell/2)=\frac{P}{48EI}\ell^3
\end{eqnarray*}


  $\mbox{$\bullet$}$
たわみ角 $\theta(\ell)$
3.
右端に単位モーメントをかけた仮想のつりあい系でのM*を計算する.
\begin{figure}
\begin{center}
\leavevmode
\epsfxsize=6cm
\epsffile{fig6-902.ps}
\end{center}\end{figure}

\begin{eqnarray*}M^* = - \frac{x}{\ell}
\end{eqnarray*}


4.
真の系と仮想系に仮想仕事の原理を適用する.

\begin{eqnarray*}\sum_i \underbrace{F_2^*~y}_{\mbox{\boldmath$F$ }_i^* \cdot \mb...
...i} +
\sum_i m_i^*~\theta_i + \int p^*~y dx &=& \int M^*~\phi~dx
\end{eqnarray*}



\begin{eqnarray*}\lefteqn {F_2^*(0)~\underbrace{y(0)}_{0}
+\underbrace{F_2^*(\e...
...right)}_{\phi} dx なので,
\theta(\ell)=\frac{-P \ell^2}{16EI}
\end{eqnarray*}


例題
下図の片持ち梁の左端が$\Delta$沈下した時の,$y(\ell)$を求めよ.(EI : 一定.梁の変形に関する $\mbox{B.C.} : y(0)=\Delta,\theta(0)=0$)
\begin{figure}%
\begin{center}
\leavevmode
\epsfxsize=6cm
\epsffile{fig6-903.ps}
\end{center}\end{figure}
1.
真のつりあい系のMを求める. M=0

2.
構成関係から$\phi$を求める.

\begin{eqnarray*}\phi=0
\end{eqnarray*}


3.
右端に単位荷重をかけた仮想のつりあい系でのM*を計算する.
\begin{figure}
\begin{center}
\leavevmode
\epsfxsize=6cm
\epsffile{fig6-904.ps}
\end{center}\end{figure}
M*= - x'

4.
真の系と仮想系に仮想仕事の原理を適用する.

\begin{eqnarray*}\sum_i \underbrace{F_2^*~y}_{\mbox{\boldmath$F$ }_i^* \cdot \mb...
...i} +
\sum_i m_i^*~\theta_i + \int p^*~y dx &=& \int M^*~\phi~dx
\end{eqnarray*}



\begin{eqnarray*}\underbrace{F_2^*(0)}_{-1}\underbrace{y(0)}_{\Delta}
+\underbr...
...0^{\ell} \underbrace{\phi}_{0} M^* dx = 0 なので y(\ell)=\Delta
\end{eqnarray*}


例題
次の梁の上下に温度差$\Delta T$が発生した時の右端でのたわみをもとめよ. (EI:一定.線膨張率$\alpha $.変形に関するB.C.: $y(0)=0,\theta(0)=0$)
\begin{figure}
\begin{center}
\leavevmode
\epsfxsize=5cm
\epsffile{fig7-902.ps}
\end{center}\end{figure}
  $\mbox{$\bullet$}$
温度変化の曲率への寄与について
\begin{figure}
\begin{center}
\leavevmode
\epsfxsize=10cm
\epsffile{fig7-903.ps}
\end{center}\end{figure}

\begin{eqnarray*}曲率~\phi &=& -y''= - \frac{d \theta}{dx} で右上の「膨張後」図...
...= \frac{\alpha \Delta T}{h}
\hspace{3mm} (温度の影響による曲率)
\end{eqnarray*}


1
$\phi$の計算

\begin{eqnarray*}\phi=\frac{\alpha \Delta T}{h}
\end{eqnarray*}


2
仮想系の導入.たわみを求めるので,梁の右端に単位集中荷重をかけ る.
\begin{figure}
\begin{center}
\leavevmode
\epsfxsize=4cm
\epsffile{fig6-16.ps}
\end{center}\end{figure}
3
仮想系でのモーメントを計算する. M* = - x'

4
真の系と仮想系に仮想仕事の原理を適用する.

\begin{eqnarray*}y(\ell)= \int_0^{\ell} \underbrace{(-x')}_{M^*}
\underbrace{\l...
...right)}_{\phi} dx'
\Rightarrow \frac{\alpha~\Delta T~\ell^2}{2h}
\end{eqnarray*}


不静定構造における解法
以下に不静定構造における解法の手順を記述し, それに従って例題を解いていく.
1.
真の静力学的に許容な断面力 M を求める. (不静定力が未知数として含まれる.)
2.
M に構成関係を用いて,曲率 $\phi$ を求める.

\begin{eqnarray*}\left( 2 の~\phi~と変形に関する\mbox{B.C.}とを考慮した
( \phi,~...
...\boldmath$u$ },~\theta,~y)は,適合系でなければならない.\right)
\end{eqnarray*}


3.
「外荷重=0」の任意のつりあい系を「仮想のつりあい系」とする.
4.
2の「適合系」と3の「仮想のつりあい系」との間に 「仮想仕事の原理」を用いる.
例題
下図の反力R $\theta(\ell)$を求めよ.(EI:一定. 変形に関するB.C.: $y(0)=0,\theta(0)=0,y(\ell)=0$)
\begin{figure}
\begin{center}
\leavevmode
\epsfxsize=5cm
\epsffile{fig6-22.ps}
\end{center}\end{figure}
1.
真のつりあい系のMRを用いて求める. M = R x' - m

2.
構成関係から$\phi$を求める.

\begin{eqnarray*}M=EI\phi \Rightarrow \phi= \frac{1}{EI}(Rx' - m)
\end{eqnarray*}


  $\mbox{$\bullet$}$
反力Rを求める.
3.
外荷重=0の仮想のつりあい系でのM*を計算する.
\begin{figure}
\begin{center}
\leavevmode
\epsfxsize=6cm
\epsffile{fig6-908.ps}
\end{center}\end{figure}
M* = x'

4.
真の系と仮想系に仮想仕事の原理を適用する.

\begin{eqnarray*}\sum_i \underbrace{F_2^*~y}_{\mbox{\boldmath$F$ }_i^* \cdot \mb...
...i} +
\sum_i m_i^*~\theta_i + \int p^*~y dx &=& \int M^*~\phi~dx
\end{eqnarray*}



\begin{eqnarray*}F_2^*(0)~\underbrace{y(0)}_{0}
+F_2^*(\ell)~\underbrace{y(\ell)...
...- \frac{m}{2}\ell^2 \right)
~\Rightarrow~R &=&\frac{3m}{2 \ell}
\end{eqnarray*}


  $\mbox{$\bullet$}$
たわみ角 $\theta(\ell)$
3.
右端に単位モーメントをかけた仮想のつりあい系でのM*を計算する.
\begin{figure}
\begin{center}
\leavevmode
\epsfxsize=6cm
\epsffile{fig6-26.ps}
\end{center} \end{figure}
M* = -1

4.
真の系と仮想系に仮想仕事の原理を適用する.

\begin{eqnarray*}\sum_i \underbrace{F_2^*~y}_{\mbox{\boldmath$F$ }_i^* \cdot \mb...
...i} +
\sum_i m_i^*~\theta_i + \int p^*~y dx &=& \int M^*~\phi~dx
\end{eqnarray*}



\begin{eqnarray*}F_2^*(0)~\underbrace{y(0)}_{0}
+\underbrace{F_2^*(\ell)}_{0}~y(...
...m) \right)}_{\phi} dx'なので,
\theta(\ell)&=&\frac{m \ell}{4EI}
\end{eqnarray*}


(注意)
不静定構造の単位荷重法においては仮想つりあい系は与えられた(単位集中力, 単位モーメント)の下でつり合い系をなしておりさえすればよく,できるだけ簡 単なものを選ぶとよい.(e.g.不静定力=0)
例題
下図の梁の右端が$\Delta$沈下した時のの反力Rとたわみ $\theta(\ell)$を求めよ.(EI:一定. 変形に関するB.C.: $y(0)=0, y(\ell)=\Delta,\theta(0)=0$)
\begin{figure}
\begin{center}
\leavevmode
\epsfxsize=6cm
\epsffile{fig6-905.ps}
\end{center}\end{figure}
1.
真のつりあい系のMRを用いて求める. M = R x'

2.
構成関係から$\phi$を求める.

\begin{eqnarray*}M=EI\phi \Rightarrow \phi= \frac{Rx'}{EI}
\end{eqnarray*}


  $\mbox{$\bullet$}$
Rを求める.
3.
外荷重=0の仮想のつりあい系でのM*を計算する.
\begin{figure}
\begin{center}
\leavevmode
\epsfxsize=6cm
\epsffile{fig6-906.ps}
\end{center}\end{figure}
M* = - x'

4.
真の系と仮想系に仮想仕事の原理を適用する.

\begin{eqnarray*}\sum_i \underbrace{F_2^*~y}_{\mbox{\boldmath$F$ }_i^* \cdot \mb...
...i} +
\sum_i m_i^*~\theta_i + \int p^*~y dx &=& \int M^*~\phi~dx
\end{eqnarray*}



 
$\displaystyle \Delta = \int_{0}^{\ell} (-x') \left(\frac{Rx'}{EI}\right) dx'
= \frac{-R \ell^3}{3EI} \rightarrow R = \frac{-3EI\Delta}{\ell^3}$     (39)

  $\mbox{$\bullet$}$
$\theta(\ell)$を求める.
3.
右端に単位荷重をかけた仮想のつりあい系でのM*を計算する (注意よりR*0とする).
\begin{figure}
\begin{center}
\leavevmode
\epsfxsize=7cm
\epsffile{fig6-907.ps}
\end{center}\end{figure}
M* = - 1 + R* x' = -1

4.
真の系と仮想系に仮想仕事の原理を適用する.

\begin{eqnarray*}\sum_i \underbrace{F_2^*~y}_{\mbox{\boldmath$F$ }_i^* \cdot \mb...
...i} +
\sum_i m_i^*~\theta_i + \int p^*~y dx &=& \int M^*~\phi~dx
\end{eqnarray*}



 
$\displaystyle \theta(\ell) = \int_{0}^{\ell} (-1) \left(\frac{Rx'}{EI}\right) dx'
= \frac{-R \ell^2}{2EI} = \frac{3\Delta}{2\ell^3}$     (40)

  $\mbox{$\bullet$}$
上では,R*=0とおいて解を計算したが,$R^* \ne 0$とすると,どううなる のかやってみよう.この場合,仮想仕事の原理の左辺に $F^* \Delta(-R^*\Delta)$ が出ることに注意すると,結局次のようになる.

\begin{eqnarray*}% latex2html id marker 8371
\theta(\ell) - R^* \Delta = \int_{0...
...
{\Delta (\ \raisebox{1ex}{.}.\raisebox{1ex}{.}(\ref{boke})) }
\end{eqnarray*}


この結果は明らかにR*はどんな値をとってもよいことを示している.

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Ken-ichi Yoshida
2001-04-18