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相反定理

相反定理
ある線形弾性はり構造物の2つの 解
系(1)( $\underbrace{\mbox{\boldmath$F$ }^{(1)},m^{(1)},p^{(1)},M^{(1)},Q^{(1)},N^{(1)}}...
...underbrace{\mbox{\boldmath$u$ }^{(1)},\theta^{(1)},y^{(1)},\phi^{(1)}}_{適合系}$),
系(2)( $\underbrace{\mbox{\boldmath$F$ }^{(2)},m^{(2)},p^{(2)},M^{(2)},Q^{(2)},N^{(2)}}...
...underbrace{\mbox{\boldmath$u$ }^{(2)},\theta^{(2)},y^{(2)},\phi^{(2)}}_{適合系}$),
があったとすると, これらは,力学的にS.A.かつ幾何学的にK.A.で,しかも,線形 の構成関係( $M^{(i)} = EI \phi^{(i)}$[i=1,2])を満たしている. このとき,次式が成立する.

\begin{eqnarray*}&& \sum_i \mbox{\boldmath$F$ }_i^{(1)} \cdot \mbox{\boldmath$u$...
...m_i^{(2)}~ \theta_i^{(1)}
+ \sum_I \int p_I^{(2)}~y_I^{(1)} dx
\end{eqnarray*}


(証明)
系(1)をつりあい系,系(2)を適合系としたときの仮想仕事の原理より,
 
$\displaystyle \sum_i \mbox{\boldmath$F$ }_i^{(1)} \cdot \mbox{\boldmath$u$ }_i^...
...2)}
+ \sum_I \int p_I^{(1)}~y_I^{(2)} dx
=\sum_I \int M_I^{(1)}~\phi_I^{(2)} dx$     (48)

構成関係より,
 
$\displaystyle \sum_I \int M_I^{(1)}\phi_I^{(2)} dx
=\sum_I \int \left( E_I I_I ...
...} \left( E_I I_I \phi_I^{(2)} \right) dx
=\sum_I \int M_I^{(2)}~\phi_I^{(1)} dx$     (49)

系(1)を適合系,系(2)をつりあい系としたときの仮想仕事の原理より,
 
$\displaystyle \sum_I \int M_I^{(2)}~\phi_I^{(1)} dx =
\sum_i \mbox{\boldmath$F$...
..._i^{(1)}
+\sum_i m_i^{(2)}~ \theta_i^{(1)}
+ \sum_I \int p_I^{(2)}~y_I^{(1)} dx$     (50)

式(48),(49),(50)より

\begin{eqnarray*}&& \sum_i \mbox{\boldmath$F$ }_i^{(1)} \cdot \mbox{\boldmath$u$...
...m_i^{(2)}~ \theta_i^{(1)}
+ \sum_I \int p_I^{(2)}~y_I^{(1)} dx
\end{eqnarray*}


(注)相反性は,構成関係の線形性の仮定の上で成り立っている.
仮想仕事 $\rightarrow$ 構成関係によらない $\uparrow$ 一般
エネルギ原理 $\rightarrow$ 弾性体でのみ適用可(非線形も可)    
相反性 $\rightarrow$ 線形弾性体でのみ適用可 $\downarrow$ 特殊
相反定理の応用
相反定理を応用することによって,たわみや支点反力の影響線を求める (M $\ddot{\mbox{u}}$ller-Breslauの方法)ことが出 来る.
点Aのたわみの影響線 $\Rightarrow$走行路上の点に単位荷重のみが作用した時の点Aのたわみ を荷重点にプロットしたもの.
支点Bの反力の影響線 $\Rightarrow$ 走行路上の点に単位荷重のみが作用した時の 支点Bの反力を荷重点にプロットしたもの.


Ken-ichi Yoshida
2001-04-18