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M $\ddot{\mbox{u}}$ller-Breslauの方法

反力の影響線を求める際のM $\ddot{\mbox{u}}$ller-Breslauの方法
ある支点反力の影響線はその構造物に荷重=0を与え,考える支点を下方に1 だけ変位させたときの走行路の形状に等しい.
(証明) 図の場合について証明する.

\begin{figure}
\begin{center}
\leavevmode
\epsfxsize=5cm
\epsffile{fig8-08.ps}
\end{center}\end{figure}

\begin{eqnarray*}&& \sum_i \underbrace{\mbox{\boldmath$F$ }_i^{(1)}}_{\v0} \cdot...
...underbrace{0}_{右端} \\
&&\mbox{従って}~R^{(2)}(x) = y^{(1)}(x)
\end{eqnarray*}


たわみの影響線を求める際のM $\ddot{\mbox{u}}$ller-Breslauの方法
ある点のたわみの影響線は,その構造物に考える点に大きさ1の集中 荷重を作用させたときの走行路のたわみに等しい.
$\Rightarrow$ これは, 「はり構造の点 Aに荷重 P が作用した時の点 Bのたわみ」
が 「はり構造の点 Bに荷重 P が作用した時の点 Aのたわみ」 に等しいことを意味している.
(例証)

\begin{figure}
\begin{center}
\fbox{A}\\
\leavevmode
\epsfxsize=3cm
\epsffile{fig8-04.ps}\\ $EI$ 一定 \\ 問:中点のたわみを求めよ.
\end{center}\end{figure}

\begin{figure}
\begin{center}
\fbox{B}\\
\leavevmode
\epsfxsize=3cm
\epsffile{fig8-05.ps}\\ $EI$ 一定 \\ 問:右端のたわみを求めよ.
\end{center}\end{figure}
(A)について

\begin{figure}
\begin{center}
\leavevmode
\epsfxsize=3cm
\epsffile{fig8-06.ps} \\ $M = -P(x + \ell)$\end{center}\end{figure}

\begin{figure}
\begin{center}
\leavevmode
\epsfxsize=3cm
\epsffile{fig8-07.ps} \\ $M^* = -x$\end{center}\end{figure}

$\displaystyle 従って,たわみ~y= \int_0^{\ell}
\left\{ \frac{-P(x+\ell)}{EI}\right\} (-x) dx
= \frac{5P\ell^3}{6EI}$
(B)について
荷重点でのたわみは, $\displaystyle \frac{P\ell^3}{3EI}$ で, たわみ角は, $\displaystyle \frac{P\ell^2}{2EI}$
荷重点より右側は力が作用していないので,はりは直線.
従って,たわみ $\displaystyle ~y = \frac{P\ell^3}{3EI}
+ \frac{P\ell^2}{2EI}~\ell
= \frac{5P\ell^3}{6EI}$

以上のように(A),(B)の問題の解は等しくなる.

(証明) 図の場合について証明する.

\begin{figure}
\begin{center}
\leavevmode
\epsfxsize=4cm
\epsffile{fig8-02.ps}
\end{center}\end{figure}

\begin{eqnarray*}&& 相反定理から \\
&& \sum_i \mbox{\boldmath$F$ }_i^{(1)} \cdo...
... y^{(1)}(x)~\cdots~
\mbox{M$\ddot{\mbox{u}}$ ller-Breslau}の方法
\end{eqnarray*}


拡張された相反定理
次の2つの系を考える.
系(1) 変位,たわみ角には不連続をゆるすが,力の系(M,Q,N)は連続であるよ うなはり構造の解
系(2) 今までと同様の系. これらの系には次式が成り立つ.

\begin{eqnarray*}&& \underline{拡張された相反定理}\\
&& \sum_i \mbox{\boldmath$...
...の解の不連続点~\mbox{A}~における
\underline{たわみ角}の不連続量
\end{eqnarray*}


(証明) 二本のはりがつながった場合のみ証明する.

\begin{figure}
\begin{center}
\leavevmode
\epsfxsize=10cm
\epsffile{fig8-10.ps}
\end{center}\end{figure}

\begin{eqnarray*}\theta_A^{(1)-} \ne \theta_A^{(1)+} \quad
&&\mbox{\boldmath$u$ ...
...\begin{array}{c}
u_1^{(1)+} \\ y_1^{(1)+}
\end{array} \right)
\end{eqnarray*}



\begin{eqnarray*}&& \fbox{左のはり}\\
&& \left( \mbox{\boldmath$F$ }^{(1)} \cdo...
...{(1)+} - \theta_A^{(1)-} \right)}
_{\mbox{$[ \theta^{(1)}]_A$ }}
\end{eqnarray*}


拡張された相反定理の応用
相反定理を応用することによって,モーメントやせん断力の影響線を求める (M $\ddot{\mbox{u}}$ller-Breslauの方法)ことが出来る.
モーメントの影響線を求める際のM $\ddot{\mbox{u}}$ller-Breslauの方法
ある点のモーメントの影響線はその点でたわみ,曲げモーメント,せん断力は連 続であるが,たわみ角が大きさ-1の不連続量を有する荷重=0の走行路のたわみ 形状に等しい.

上の方法が正しいかどうか次の簡単な例題で確かめてみよう.

例題
次の梁の中点でのモーメントの影響線を求めよ.
\begin{figure}
\begin{center}
$M_A$ の影響線 \\
\leavevmode
\epsfxsize=4cm
\epsffile{fig8-11.ps}
\end{center}\end{figure}

\begin{eqnarray*}\frac{x}{2} & \displaystyle \left(0 < x < \frac{\ell}{2} \right...
...ll -x ) & \displaystyle \left( \frac{\ell}{2} < x < \ell
\right)
\end{eqnarray*}


(証明) 曲げモーメントの場合

\begin{figure}
\begin{center}
\leavevmode
\epsfxsize=6cm
\epsffile{fig8-15.ps}
\end{center}\end{figure}

\begin{eqnarray*}&& \sum_i \underbrace{\mbox{\boldmath$F$ }_i^{(1)}}_{\v0} \cdot...
...
& & 従ってy^{(1)}(x) = M_A^{(2)}(x):曲げモーメントに関する結果
\end{eqnarray*}


せん断力の影響線を求める際のM $\ddot{\mbox{u}}$ller-Breslauの方法
ある点のせん断力の影響線はその点でたわみ角,曲げモーメント,せん断力は連 続であるが,たわみが大きさ1の不連続量を有する荷重=0の走行路のたわみ 形状に等しい.

上の方法が正しいかどうか次の簡単な例題で確かめてみよう.

例題
次の梁の中点でのせん断力の影響線を求めよ.
\begin{figure}
\begin{center}
$Q_A$ の影響線 \\
\leavevmode
\epsfxsize=5cm
\epsffile{fig8-12.ps}
\end{center}\end{figure}

\begin{eqnarray*}- \frac{x}{\ell} & \displaystyle \left(0 < x < \frac{\ell}{2} \...
...ll -x ) & \displaystyle \left( \frac{\ell}{2} < x < \ell
\right)
\end{eqnarray*}


(証明) せん断力の場合

\begin{figure}
\begin{center}
\leavevmode
\epsfxsize=5cm
\epsffile{fig8-16.ps}
\end{center}\end{figure}

\begin{eqnarray*}&& \sum_i \underbrace{\mbox{\boldmath$F$ }_i^{(1)}}_{\v0} \cdot...
... \\
& & 従って~y^{(1)}(x) = Q_A^{(2)}(x)~:~せん断力に関する結果
\end{eqnarray*}


(注意) 一般に静定構造の反力,モーメント,せん断力の影響線は折れ線になる が,不静定構造の場合は曲線になる.たわみの影響線は静定,不静定によらず 一般に曲線になる.
例題
次の片持ち梁の RA,MA,MB,QBの影響線を書け.
\begin{figure}
\begin{center}
\leavevmode
\epsfxsize=8cm
\epsffile{fig8-900.ps}
\end{center}\end{figure}
例題
次の単純梁の RA,RB,RD,MB,ME,QB+,QB-,QEの影響線を書け.
\begin{figure}
\begin{center}
\leavevmode
\epsfxsize=9cm
\epsffile{fig8-901.ps}
\end{center}\end{figure}
例題
次の片持ち梁の RA,RC,MA,MC,QB,QC+,QC-,の影響線を書け.
\begin{figure}
\begin{center}
\leavevmode
\epsfxsize=5cm
\epsffile{fig8-18.ps}
\end{center}\end{figure}
例題
次の片持ち梁のMAの影響線を書け.
\begin{figure}
\begin{center}
\leavevmode
\epsfxsize=7cm
\epsffile{fig8-19.ps}
\end{center}\end{figure}
例題
次の片持ち梁の QB,MC+,MC-の影響線を書け.
\begin{figure}
\begin{center}
\leavevmode
\epsfxsize=7cm
\epsffile{fig8-20.ps}
\end{center}\end{figure}
間接荷重を受ける時の影響線
間接荷重を受ける時の影響線は梁が走行路の場合の影響線に実際の走行路 をのせたものになる.
例題
次のはり構造物の指定された場所の影響線を求めよ.
\begin{figure}
\begin{center}
\leavevmode
\epsfxsize=5cm
\epsffile{fig8-21.ps}
\end{center}\end{figure}
細線:上の問題ではりが走行路の時の影響線の形状
太線:問題の解


Ken-ichi Yoshida
2001-04-18