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弾性方程式

 
不静定構造の支点をいくつか取り去って静定構造を作る. もとの不静定構造を支点位置に荷重を受ける静定構造として考え 支点における変形条件から不静定力を決定する.次に例題を示す.
例題
次の梁の中点での支点反力を求める.
\begin{figure}
\begin{center}
\leavevmode
\epsfxsize=8cm
\epsffile{fig9-900.ps}
\end{center}\end{figure}
上の梁は次の様に分解できる.
系1                 +                 系2

\begin{figure}
\begin{center}
\leavevmode
\epsfxsize=10cm
\epsffile{fig9-903.ps}
\end{center}\end{figure}
下向を正にすると系1と系2での中間点でのたわみは それぞれ, $\frac{5q \ell^4}{384 EI}, - \frac{R \ell^3}{48 EI}$であるので次の式が成り立つ.

\begin{eqnarray*}\frac{5q \ell^4}{384 EI} - \frac{R \ell^3}{48 EI}=0 \Rightarrow
R = \frac{5pl}{8}
\end{eqnarray*}


次にいくつかの静定構造の解を列挙する. これらを使って不静定構造を解くと便利な場合もあるので, 覚えることが出来れば楽である.

\begin{figure}
\begin{center}
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\epsfxsize=4cm
\epsffile{fig9-04.ps}
\end{center}\end{figure}
右端のたわみ $\displaystyle \frac{m \ell^2}{2EI}$, 右端のたわみ角(絶対値) $\displaystyle \frac{m \ell}{EI}$

\begin{figure}
\begin{center}
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\epsfxsize=4cm
\epsffile{fig9-05.ps}
\end{center}\end{figure}
右端のたわみ $\displaystyle \frac{P\ell^3}{3EI}$, 右端のたわみ角(絶対値) $\displaystyle \frac{P\ell^2}{2EI}$

\begin{figure}
\begin{center}
\leavevmode
\epsfxsize=4cm
\epsffile{fig9-06.ps}
\end{center}\end{figure}
右端のたわみ $ \displaystyle \frac{q \ell^4}{8EI} $, 右端のたわみ角(絶対値) $\displaystyle \frac{q \ell^3}{6EI}$

\begin{figure}
\begin{center}
\leavevmode
\epsfxsize=4cm
\epsffile{fig9-07.ps}
\end{center}\end{figure}
左端のたわみ角(絶対値) $ \displaystyle \frac{m \ell}{3EI}$, 右端のたわみ角(絶対値) $ \displaystyle \frac{m \ell}{6EI}$

\begin{figure}
\begin{center}
\leavevmode
\epsfxsize=4cm
\epsffile{fig9-08.ps}
\end{center}\end{figure}
中央のたわみ $ \displaystyle \frac{P \ell^3}{48EI}$, 両端のたわみ角(絶対値) $ \displaystyle \frac{P \ell^2}{16EI}$

\begin{figure}
\begin{center}
\leavevmode
\epsfxsize=4cm
\epsffile{fig9-09.ps}
\end{center}\end{figure}
中央のたわみ $ \displaystyle \frac{5q \ell^4}{384EI}$, 両端のたわみ角(絶対値) $ \displaystyle \frac{q \ell^3}{24EI}$
上のパターンにあてはまらないものは例えば,単位荷重法で 求めれば良い.
例題
次の梁の右端での支点反力を求める.

\begin{figure}
\begin{center}
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\epsfxsize=4cm
\epsffile{fig9-130.ps}
\end{center}\end{figure}
上の梁は次のように分解される.
系1                 +                 系2

\begin{figure}
\begin{center}
\leavevmode
\epsfxsize=10cm
\epsffile{fig9-902.ps}
\end{center}\end{figure}
下向を正にすると系1,系2での右端でのたわみは それぞれ, $\frac{m \ell^2}{2EI}, - \frac{R \ell^3}{3 EI}$であるので次の式が成り立つ.

\begin{eqnarray*}\frac{m \ell^2}{2EI} - \frac{R \ell^3}{3 EI}=0 \Rightarrow R=\frac{3m}{2l}
\end{eqnarray*}


これまでは,1次不静定構造について書いてきたが,高次不静定についても 同様に次のように解くことが出来る.
\begin{figure}
\begin{center}
\leavevmode
\epsfxsize=4cm
\epsffile{fig9-30.ps}
\end{center}\end{figure}
上の梁は次の様に分解される.

\begin{figure}
\begin{center}
\leavevmode
\epsfxsize=4cm
\epsffile{fig9-31.ps}
\...
...sffile{fig9-32.ps}
\epsfxsize=4cm
\epsffile{fig9-33.ps}
\end{center}\end{figure}
$\parbox{0.95\textwidth}{%
$\delta_{i0}~:~$ 系0で支点~i~におけるたわみ(下向き正)...
...:~$ 支点2の位置に大きさ1の荷重が作用した時の系2の
点$~i~$ のたわみ(上向き正)
} $

\begin{eqnarray*}支点1でのたわみ 0 = \delta_{10}-\delta_{11}R_1-\delta_{12}~R_2 \\
支点2でのたわみ 0 = \delta_{20}-\delta_{21}R_1-\delta_{22}~R_2
\end{eqnarray*}


結局,次の代数方程式を解くことになる.

\begin{eqnarray*}\left( \begin{array}{cc}
\delta_{11} & \delta_{12} \\ \delta_{...
...begin{array}{c}
\delta_{10} \\ \delta_{20}
\end{array} \right)
\end{eqnarray*}


一般的には次のような代数方程式を解く.

\begin{eqnarray*}\left(
\begin{array}{cccc}
\delta_{11}&\delta_{12} & \ldots & ...
...a_{10}\\ \delta_{20}\\ \vdots \\ \delta_{n0}
\end{array}\right)
\end{eqnarray*}


弾性方程式の係数行列は対称行列 $\delta_{ij}=\delta_{ji}$となる. (...相反定理)

Ken-ichi Yoshida
2001-04-18