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三連モーメント式による解法

三連モーメント法はモーメントを未知数にとった不静定はり構造の解法である. 応力法の一つである.
例題
次の梁の中間支点でのモーメントを計算せよ.(EI一定)

\begin{figure}
\begin{center}
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\epsfxsize=8cm
\epsffile{fig9-904.ps}
\end{center}\end{figure}
上の梁は次のように分解できる.

\begin{figure}
\begin{center}
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\epsfxsize=8cm
\epsffile{fig9-905.ps}
\end{center}\end{figure}
さらに次のように分解できる.

\begin{figure}
\begin{center}
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\epsfxsize=8cm
\epsffile{fig9-906.ps}
\end{center}\end{figure}
中間支点の左側のたわみ角は $-\frac{p\ell^3}{24EI}-\frac{M\ell}{3EI}$
中間支点の右側のたわみ角は $\frac{p\ell^3}{24EI}+\frac{M\ell}{3EI}$
中間支点の左側のたわみ角は右側のたわみ角と等しいので

\begin{eqnarray*}-\frac{p\ell^3}{24EI}-\frac{M\ell}{3EI}=\frac{p\ell^3}{24EI}+\frac{M\ell}{3EI}
\Rightarrow M=-\frac{p\ell^2}{8}
\end{eqnarray*}


例題
次の梁の中間支点での曲げモーメントを求めよ.(EI一定)

\begin{figure}
\begin{center}
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\epsfxsize=6cm
\epsffile{fig9-34.ps}
\end{center}\end{figure}
上の梁は次の様に分解できる.

\begin{figure}
\begin{center}
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\epsfxsize=6cm
\epsffile{fig9-35.ps}
\end{center}\end{figure}
上の梁はさらに次の様に分解できる.

\begin{figure}
\begin{center}
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\epsfxsize=6cm
\epsffile{fig9-36.ps}
\end{center}\end{figure}
中間支点の左側のたわみ角は $-\frac{q\ell^3}{24EI}-\frac{M\ell}{3EI}$
中間支点の右側のたわみ角は $\frac{M\ell}{3EI}$
中間支点の左側のたわみ角は右側のたわみ角と等しいので

\begin{eqnarray*}-\frac{p\ell^3}{24EI}-\frac{M\ell}{3EI}=\frac{M\ell}{3EI}
\Rightarrow M=-\frac{q\ell^2}{16}
\end{eqnarray*}


もう少し一般的な場合について述べる.次のように連続梁の一区間を取り出して 考える.
\begin{figure}
\begin{center}
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\epsfxsize=8cm
\epsffile{fig9-907.ps}
\end{center}\end{figure}
上の一区間は次のように分解される. 次は連続梁の二区間について考える.
\begin{figure}
\begin{center}
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\epsfxsize=10cm
\epsffile{fig9-911.ps}
\end{center}\end{figure}

\begin{eqnarray*}節点Bの左側のたわみ角 = \theta_{r0}^1 + \phi_1 -
\frac{M_A \el...
...phi_2 +
\frac{M_B \ell_2}{3E_2 I_2}+\frac{M_C\ell_2}{6E_2 I_2}
\end{eqnarray*}


節点Bの左側のたわみ角と右側のたわみ角が等しいので次の式が導かれる.

\begin{eqnarray*}\frac{\ell_1}{6E_1 I_1}M_A+ \left(\frac{\ell_1}{3E_1 I_1}+\frac...
...2 I_2}M_C = \theta_{r0}^1 + \phi_1 - \theta_{\ell 0}^2 - \phi_2
\end{eqnarray*}


これを三連モーメント公式と言う.
例題
次の梁の左端の曲げモーメントを求めよ.(EI一定)

\begin{figure}
\begin{center}
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\epsfxsize=8cm
\epsffile{fig9-912.ps}
\end{center}\end{figure}
この梁は形状,荷重の対称性より,次のように分解される.
\begin{figure}
\begin{center}
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\epsfxsize=8cm
\epsffile{fig9-913.ps}
\end{center}\end{figure}

\begin{eqnarray*}梁左端の右側のたわみ角\theta=0=\frac{p\ell^3}{24EI}+\frac{M\ell}{3EI}
+\frac{M\ell}{6EI}\Rightarrow M=-\frac{p\ell^2}{12EI}
\end{eqnarray*}


例題
次の梁の右端が$\Delta$沈下した時の両端の曲げモーメントを求めよ.(EI一定)

\begin{figure}
\begin{center}
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\epsfxsize=8cm
\epsffile{fig9-914.ps}
\end{center}\end{figure}
この梁は次のように分解される.
\begin{figure}
\begin{center}
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\epsfxsize=8cm
\epsffile{fig9-915.ps}
\end{center}\end{figure}

\begin{eqnarray*}梁左端の右側のたわみ角\theta=0=\frac{\Delta}{\ell}+\frac{M_{\el...
...\frac{6\Delta EI}{\ell^2},
\quad M_r = \frac{6\Delta EI}{\ell^2}
\end{eqnarray*}




Ken-ichi Yoshida
2001-04-18