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トラスの変形

トラスの変形は各節点における変位(displacement)を元に 表現される.節点 i における変位を $\mbox{\boldmath$u$ }_i$ と表そう. なお,ベクトルは文中では太文字で表し,図中では上矢印を付けて 表す( $\vec{u}_{i}$ など).以下では, ``部材の長さに比べて変位 $\mbox{\boldmath$u$ }_i$ は十分小さい''と仮定する. これを微小変形の仮定という.

まず,トラスの力学を簡潔な形で記述するために,

 
$\displaystyle \mbox{\boldmath$n$ }_{iI}=\left(
{部材~I~の端~i~において部材~I~の軸方向を向いていて,
\atop しかも,部材~I~から見て外向きな単位ベクトル}\right)$     (1)

を定義しておこう.


  
Figure 1.1: トラスの変形
\begin{figure}
\begin{center}
\leavevmode
\epsfxsize=7cm
\epsffile{fig1-05.ps}
\end{center}\end{figure}

さて,Fig 1.1 における部材 $\ooalign{ \hfill$\scriptstyle1$\hfill\crcr$\bigcirc$ }$ ののび $\delta_{\ooalign{ \hfill$\scriptstyle1$\hfill\crcr$\bigcirc$ }}$ を求めてみよう. Fig 1.2 に示すように,微小変形の仮定から, 変位 $\mbox{\boldmath$u$ }_1$ $\mbox{\boldmath$u$ }_2$ は小さいから,変形前の部材と 変形後の部材は平行であるとみなせる.したがって,部材 $\ooalign{ \hfill$\scriptstyle1$\hfill\crcr$\bigcirc$ }$ の のび $\delta_{\ooalign{ \hfill$\scriptstyle1$\hfill\crcr$\bigcirc$ }}$ は,式(1)を用いて,

 
$\displaystyle \delta_{\ooalign{ \hfill$\scriptstyle1$\hfill\crcr$\bigcirc$ }} =...
...ign{ \hfill$\scriptstyle1$\hfill\crcr$\bigcirc$ }} \cdot \mbox{\boldmath$u$ }_2$     (2)

となることがわかる(部材番号を数字で書くときには,節点番号と混同しない ようにその数字を○で囲んで表す.以下同様).上式をもう少し厳密な 方法で誘導してみよう. ここで, $\mbox{\boldmath$n$ }$ $\mbox{\boldmath$n$ }=\mbox{\boldmath$n$ }_{2\ooalign{ \hfill$\scriptstyle1$\hfi...
...\mbox{\boldmath$n$ }_{1\ooalign{ \hfill$\scriptstyle1$\hfill\crcr$\bigcirc$ }})$ と 決めておこう.このとき

\begin{eqnarray*}\mbox{(変形前の長さ)} &=& \mid \mbox{\boldmath$n$ }\ell \mid = ...
...u$ }_1)
\cdot (\mbox{\boldmath$u$ }_2-\mbox{\boldmath$u$ }_1) }
\end{eqnarray*}


である.ここで, $\mbox{\boldmath$u$ }_1$ $\mbox{\boldmath$u$ }_2$ は,$\ell$ に比べて 十分小さいという微小変形の仮定から,

\begin{eqnarray*}\mbox{(変形後の長さ)}
&\approx& \ell\sqrt{1+2\frac{(\mbox{\bold...
...boldmath$u$ }_2-\mbox{\boldmath$u$ }_1)\cdot\mbox{\boldmath$n$ }
\end{eqnarray*}


となる.したがって,

\begin{eqnarray*}\delta_{\ooalign{ \hfill$\scriptstyle1$\hfill\crcr$\bigcirc$ }}...
...ldmath$u$ }_2-\mbox{\boldmath$u$ }_1) \cdot \mbox{\boldmath$n$ }
\end{eqnarray*}


を得る.これは上で導いた $\delta_{\ooalign{ \hfill$\scriptstyle1$\hfill\crcr$\bigcirc$ }}$ に等しい.

さて,式(2)から明らかなように,部材 I の のび $\delta_{I}$ は一般的に,

 
$\displaystyle \delta_{I}=
\sum_{i : {{\scriptsize 部材} I {\scriptsize の}\atop
{\scriptsize 端点}}}\mbox{\boldmath$n$ }_{iI}\cdot\mbox{\boldmath$u$ }_i$     (3)

と書くことができる.ここで,上式に含まれる 和記号の添字 i の範囲は各部材に応じて変わるので煩わしい. そこで,式(1)で定義した $\mbox{\boldmath$n$ }_{iI}$ に 次のような規約を新たに設ける.
 
$\displaystyle \mbox{\boldmath$n$ }_{iI}=\left\{\begin{array}{cl}
\mbox{\boldmat...
...ce が 部材 $I$\space の端点のとき}\\
{\bf0} & \mbox{その他}
\end{array}\right.$     (4)

このようにすると,式(3)の 和記号の添字 i の範囲はもはや部材 I に集まる端点(節点)に とどまらず,全節点に渡るとしても同じである(このとき 単に $\displaystyle\sum_i$ と書く).この規約を用いれば, 式(3)は
 
$\displaystyle \delta_{I}=\sum_i\mbox{\boldmath$n$ }_{iI}\cdot\mbox{\boldmath$u$ }_i$     (5)

と書ける.式(5)が微小変形理論 (infinitesimal deformation theory)の 変位-のび関係を表す式である. 一般に,あるトラスについて式(5)を 満たすような $(\mbox{\boldmath$u$ }_i, \delta_I)$ の組み合せを 適合系という.


  
Figure 1.2: 変形による節点の変位
\begin{figure}
\begin{center}
\leavevmode
\epsfxsize=6cm
\epsffile{fig1-06.ps}
\end{center}\end{figure}

例題 1
Fig 1.3 に示すトラスの各部材ののびを求めよ.
  
Figure 1.3: トラス
\begin{figure}
\begin{center}
\leavevmode
\epsfxsize=6cm
\epsffile{fig1-07.ps}
\end{center}\end{figure}


\begin{eqnarray*}\delta_{\ooalign{ \hfill$\scriptstyle1$\hfill\crcr$\bigcirc$ }}...
...\\ 1/ \sqrt{2}
\end{array}\right)
\cdot \mbox{\boldmath$u$ }_{3}
\end{eqnarray*}



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Ken-ichi Yoshida
2001-04-18