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たわみ角法

三連モーメント法ではモーメントを未知数にし,たわみ角の連続条 件から解を求めたのに対し,たわみ角法では,たわみを未知 数にとり,モーメントの連続条件から解を求める. 次の問題を考えてみる.

\begin{figure}
\begin{center}
\leavevmode
\epsfxsize=4cm
\epsffile{fig9-26.ps}
\end{center}\end{figure}
応力法で解くと未知数は3つ(例:両端のモーメント,中央支点の反力) である.ところが,同じ問題でたわみ角を未知数にすると, 未知数は中央の支点のたわみ角1つであり楽に解ける.

式(51)を行列を使うと次のように書ける.

\begin{eqnarray*}\left( \begin{array}{c}
\theta_{\ell} \\ \theta_r
\end{array...
...a_{\ell 0}+ \phi \\ \theta_{r 0}+ \phi
\end{array} \right) \\
\end{eqnarray*}


ここで, $ \theta_{\ell 0},\theta_{r 0}$は既知であるが, $\phi$は下図からわかるように一般には未知である.しかし,ここでは,簡単 のために$\phi$(変形後の部材両端を直線で結んだ時のたわみ角)が既知の問題 のみを扱う.従って,右辺第二項は既知である.

\begin{figure}
\begin{center}
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\epsfxsize=6cm
\epsffile{fig9-918.ps}
\end{center}\end{figure}
これをモーメントについて解くと,

\begin{eqnarray*}\left( \begin{array}{c}
M_{\ell} \\ M_r
\end{array} \right) ...
...phi \\
\theta_{r} - \theta_{r 0} - \phi
\end{array} \right)
\end{eqnarray*}


がえられ,これを書き下すと,

\begin{eqnarray*}M_\ell &=& \frac{2EI}{\ell} \left( 2\theta_\ell + \theta_r
- 2...
... - 2 \theta_r
+ \theta_{\ell 0} + 2 \theta_{r0} +3 \phi \right)
\end{eqnarray*}


となり,これをたわみ角公式と呼ぶ.
例題
次の梁の中央でのたわみ角を求めよ.(両端のたわみ角は0,EI一定)

\begin{figure}
\begin{center}
\leavevmode
\epsfxsize=4cm
\epsffile{fig9-28.ps}
\end{center}\end{figure}
この問題をたわみ角法で解く場合,つりあい式1つで中央の支点の $\theta$が求まる.左半分,右半分の梁に別けてそれぞれでたわみ角の公式を使 う.
まず,左半分の梁について考える.
\begin{figure}
\begin{center}
\leavevmode
\epsfxsize=6cm
\epsffile{fig9-916.ps}
\end{center}\end{figure}

\begin{eqnarray*}M &=& \frac{2EI}{\ell} \left(
- 0 - \theta + \frac{q \ell^3}{2...
...right) \\
&=& - \frac{4EI \theta}{\ell} - \frac{q \ell^2}{12}
\end{eqnarray*}


次に右半分について考える.
\begin{figure}
\begin{center}
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\epsfxsize=6cm
\epsffile{fig9-917.ps}
\end{center}\end{figure}

\begin{eqnarray*}M &=& \frac{2EI}{\ell} \left(
2\theta + 0 - 0 - 0 -0 \right) \\
&=& \frac{4EI \theta}{\ell} \\
\end{eqnarray*}


よって,

\begin{eqnarray*}- \frac{4EI \theta}{\ell} - \frac{q \ell^2}{12} = \frac{4EI \theta}{\ell}
\Rightarrow \theta = - \frac{q \ell^3}{96EI}
\end{eqnarray*}


最後に次の問題を弾性方程式,三連モーメント法,たわみ角法を用いて次の例題 を解いてみよう.
例題
次の梁M図を書け.(EI一定)
\begin{figure}
\begin{center}
\leavevmode
\epsfxsize=6cm
\epsffile{fig10-15.ps}
\end{center}\end{figure}


Ken-ichi Yoshida
2001-04-18