next up previous contents
Next: 座屈理論の応用 Up: Eulerの座屈理論 Previous: 基礎方程式の一般解

はりの座屈荷重

1
単純ばり
次の梁の座屈荷重Pcrを求めよ.(EI一定)
\begin{figure}
\begin{center}
\leavevmode
\epsfxsize=4cm
\epsffile{fig10-24.ps}
\end{center}\end{figure}
境界条件 : $y(0)=y(\ell)=0, y''(0)=y''(\ell)=0$

\begin{eqnarray*}p &=& 0~なので「基礎方程式の一般解」~=~「斉次方程式の一般解」\\...
...rac{9\pi^2 EI}{\ell^2},~\cdots~において~y=0~でない解が存在する.
\end{eqnarray*}


この例題の解は $\displaystyle
~y=B \sin k \ell = B \sin \frac{n\pi x}{\ell}$であることと合わせて,
n=1 \psbox[scale=0.6]{fig10-25.ps} $\displaystyle
P = \frac{\pi^2 EI}{\ell^2}$ : 単純ばりの座屈荷重 Pcr
n=2 \psbox[scale=0.6]{fig10-26.ps} $\displaystyle
P = \frac{4\pi^2 EI}{\ell^2}$ : この荷重に達するまでにはりは座屈する.
  $\vdots$    
2
固定 - 単純支持
次の梁の座屈荷重Pcrを求めよ.(EI一定)
\begin{figure}
\begin{center}
\leavevmode
\epsfxsize=4cm
\epsffile{fig10-27.ps}
\end{center}\end{figure}
境界条件 : $y(0)=y(\ell)=0, y'(0)=0, y''(\ell)=0$

\begin{eqnarray*}q &=& 0~なので「基礎方程式の一般解」~=~「斉次方程式の一般解」\\...
... \ell + ( -k^3 \ell \cos k \ell) \rightarrow \tan k\ell = k\ell
\end{eqnarray*}


$\tan k \ell - k \ell = 0 ~\Rightarrow$ $k \ell = 4.5~くらい(下図)~\rightarrow~$単純ばりの場合( $k \ell = \pi$)より座屈しにくい.
\begin{figure}
\begin{center}
\leavevmode
\epsfxsize=5cm
\epsffile{fig10-28.ps}
\end{center}\end{figure}
3
片持ち梁
次の梁の座屈荷重Pcrを求めよ.(EI一定)
\begin{figure}
\begin{center}
\leavevmode
\epsfxsize=8cm
\epsffile{fig10-903.ps}
\end{center}\end{figure}
この場合,下図のように固定端の反対側に鏡像のようにたわみ形状を延長させると 長さが2倍の単純ばりと同様に扱える.
\begin{figure}
\begin{center}
\leavevmode
\epsfxsize=8cm
\epsffile{fig10-904.ps}
\end{center}\end{figure}

\begin{eqnarray*}単純ばりの座屈荷重~P_{cr} &=& \frac{\pi^2 EI}{\ell^2}から\\
\e...
...箸靴 && \\
問題の座屈荷重~P_{cr} &=& \frac{\pi^2 EI}{4\ell^2}
\end{eqnarray*}


4
両端固定
次の梁の座屈荷重Pcrを求めよ.(EI一定)
\begin{figure}
\begin{center}
\leavevmode
\epsfxsize=7cm
\epsffile{fig10-905.ps}
\end{center}\end{figure}
*
下図のように座屈する時には,長さが $\displaystyle
\frac{\ell}{2}$ の単純ばりと同様に扱える.

\begin{figure}
\begin{center}
\leavevmode
\epsfxsize=7cm
\epsffile{fig10-906.ps}
\end{center}\end{figure}

\begin{eqnarray*}座屈荷重~P_{cr} &=& \frac{\pi^2 EI}
{\left( \frac{\ell}{2} \right)^2} = \frac{4\pi^2 EI}{\ell^2}
\end{eqnarray*}


*
下図のように座屈する時には,長さが $\displaystyle
\frac{\ell}{2}$ で固定-単純支持の場合と同様に扱える.
\begin{figure}
\begin{center}
\leavevmode
\epsfxsize=7cm
\epsffile{fig10-907.ps}
\end{center}\end{figure}

\begin{eqnarray*}\displaystyle
座屈荷重~P &=& \frac{(4.5)^2 EI}
{\left( \ell / 2 \right)^2}
\end{eqnarray*}


以上を合わせるとこの時の座屈荷重 Pcr は上の2ケースの小さい方, すなわち $\displaystyle
\frac{4\pi^2 EI}{\ell^2}$ である.
5
一般的な状況での梁の座屈荷重
一般に区間 $(-\pi, \pi)$で定義される関数f(x)

\begin{eqnarray*}f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} a_n \cos nx
+\sum_{n=1}^{\infty} b_n \sin nx
\end{eqnarray*}


と書ける(Fourier級数).
係数の決定法

\begin{eqnarray*}\int_{-\pi}^{\pi} \cos nx \cos mx dx &=& \left
\{ \begin{array...
...
\int_{-\pi}^{\pi} \cos nx \sin mx dx &=& 0 \hspace{2zw}から\\
\end{eqnarray*}



\begin{eqnarray*}a_n &=& \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \cos nx dx \\
b_...
...{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \sin nx dx
\hspace{2zw} となる.
\end{eqnarray*}



\begin{figure}
\begin{center}
\leavevmode
\epsfxsize=4cm
\epsffile{fig11-03.ps}
\end{center}\end{figure}
$x=0からx= \ell$のたわみ形状を $x= -\ell からx=0$の部 分に図のように拡張すると,たわみ形状は奇関数となる. 奇関数では $a_i = 0 \ (i=0,1,\cdots)$である.従って, 区間 $0< x < \ell$で定義されたf(x) $\displaystyle f(x)= \sum_{n=1}^\infty
f_n \sin \frac{n \pi}{\ell} x $ と展開できる.(Fourier級数の半区間展開)
これを用いて次の梁(EI一定)の座屈荷重を計算してみよう.

\begin{figure}
\begin{center}
\leavevmode
\epsfxsize=6cm
\epsffile{fig11-04.ps}
\end{center}\end{figure}
まず,荷重q(x),たわみy(x)を展開する.

\begin{eqnarray*}q(x) &=& \sum_{n=1}^{\infty} q_n \sin \frac{n \pi}{\ell}x \\
y(x) &=& \sum_{n=1}^{\infty} y_n \sin \frac{n \pi}{\ell}x
\end{eqnarray*}


これらは,境界条件

\begin{eqnarray*}y(0) &=& 0~,~ y(\ell)=0 \\
y''(0) &=& 0~,~y''(\ell) =0
\end{eqnarray*}


を満たしていることに注意する.これらを,微分方程式 EIy''''+Py'' = qに代入すると,

\begin{eqnarray*}\sum_{n=1}^{\infty} y_n \left( \frac{n\pi}{\ell}\right)^2
\lef...
...i x}{\ell} &=& \sum_{n=1}^{\infty} q_n \sin
\frac{n\pi x}{\ell}
\end{eqnarray*}



\begin{eqnarray*}上の式を満たすためには\hspace{2zw} y_n &=& \frac{q_n}
{\left( \...
...^2
\left\{ EI \left( \frac{n\pi}{\ell}\right)^2 -P \right\}}\\
\end{eqnarray*}



\begin{eqnarray*}∴ \hspace{2zw} y &=& \sum_{n=1}^\infty \frac{q_n}
{\left( \fra...
...\frac{n\pi}{\ell}\right)^2 -P \right\}}
\sin \frac{n\pi}{\ell} x
\end{eqnarray*}


すべてのnに対して, $EI\left(\frac{n\pi}{\ell}\right)^2 \ne P$ならば係数ynが計算でき,解yを構成することが可能である. ところが, $ \displaystyle P~\rightarrow~\frac{EI\pi^2}{\ell^2}$となると $\vert y_1\vert\rightarrow\infty (q_1 \ne 0) $となり $\vert y\vert\rightarrow\infty$ になる.この時, $P_{cr}=\frac{EI\pi^2}{\ell^2}$である.この座屈荷重は分布荷重が存在しない時の座屈荷重と等しく,分布 荷重がある場合でも,分布荷重の無いときの座屈荷重が意味のあることを示唆し ている.
$\displaystyle
一般に座屈荷重は
P_{cr} ~=~ \frac{\gamma EI}{\ell^2}(\gamma~:~...
...る部材の応力は
\sigma = \frac{P_{cr}}{A} = \frac{\gamma E}{\ell^2 A/I}である
($A $~:~部材の断面積).
ここで,回転半径 r = \sqrt{\frac{I}{A}}を導入すると
\sigma ...
...いうことは
~\sigma~が小さい,つまり,座屈しやすいということであることがわかる.$

Ken-ichi Yoshida
2001-04-18