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力のつりあい

トラスの節点に着目して力のつりあい式を誘導してみよう. 約束として,トラスのある節点 i に作用する外荷重を $\mbox{\boldmath$F$ }_i$ と 表し,その x1x2 成分をそれぞれ F1iF2i と表す.


  
Figure 1.5: 節点 1 の力のつりあい
\begin{figure}
\begin{center}
\leavevmode
\epsfxsize=8cm
\epsffile{fig1-03.ps}
\end{center}\end{figure}

一般的な表現を述べる前に,Fig 1.4 の節点 1 に おける力のつりあいを書き下してみる. 注目している節点 1 に接合している 部材は $\ooalign{ \hfill$\scriptstyle1$\hfill\crcr$\bigcirc$ }$ $\ooalign{ \hfill$\scriptstyle3$\hfill\crcr$\bigcirc$ }$ $\ooalign{ \hfill$\scriptstyle4$\hfill\crcr$\bigcirc$ }$ である(Fig 1.5 ). これらの部材の節点 1 における節点力は,それぞれ $\mbox{\boldmath$f$ }_{1\ooalign{ \hfill$\scriptstyle1$\hfill\crcr$\bigcirc$ }}$ $\mbox{\boldmath$f$ }_{1\ooalign{ \hfill$\scriptstyle3$\hfill\crcr$\bigcirc$ }}$ $\mbox{\boldmath$f$ }_{1\ooalign{ \hfill$\scriptstyle4$\hfill\crcr$\bigcirc$ }}$ である.したがって,作用反作用の 法則により,節点 1 は力 $-\mbox{\boldmath$f$ }_{1\ooalign{ \hfill$\scriptstyle1$\hfill\crcr$\bigcirc$ }}$ $-\mbox{\boldmath$f$ }_{1\ooalign{ \hfill$\scriptstyle3$\hfill\crcr$\bigcirc$ }}$ $-\mbox{\boldmath$f$ }_{1\ooalign{ \hfill$\scriptstyle4$\hfill\crcr$\bigcirc$ }}$ を受けることになる.これらの他に,外力として $\mbox{\boldmath$F$ }_1$ を 受けているから,節点 1 に関する力のつりあい式は,

\begin{eqnarray*}\mbox{\boldmath$F$ }_1+(-\mbox{\boldmath$f$ }_{1\ooalign{ \hfil...
...1\ooalign{ \hfill$\scriptstyle4$\hfill\crcr$\bigcirc$ }})={\bf0}
\end{eqnarray*}


である.これをもう少しシンボリックに表すと,

\begin{eqnarray*}\mbox{\boldmath$F$ }_1
= \sum_{I : {\scriptsize {節点 1 に\ato...
...size {節点 1 に\atop 集まる部材}}}\mbox{\boldmath$n$ }_{1I}N_{I}
\end{eqnarray*}


となる.最後の等式には式(6)を用いている ことに注意されたい.

上式を一般化すると,節点 i に関する力のつりあいは

\begin{eqnarray*}\mbox{\boldmath$F$ }_i
= \sum_{I : {{\scriptsize 節点} i {\scr...
...に}\atop
{\scriptsize 集まる部材}}}\mbox{\boldmath$n$ }_{iI}N_I
\end{eqnarray*}


と書けることがわかるであろう. さらに,式(4)の規約を用いれば,
 
$\displaystyle \mbox{\boldmath$F$ }_i = \sum_{I}\mbox{\boldmath$n$ }_{iI}N_I$     (7)

と表現できる.これがトラスに関するつりあい式である. 一般に,あるトラスに対して式(7) を満たす $(\mbox{\boldmath$F$ }_i,N_I)$ の組合せをつりあい系と呼ぶ.

例題 2
Fig 1.6 に示すトラスのつりあい式を書け.
  
Figure 1.6: 2 つの部材からなる静定トラス
\begin{figure}
\begin{center}
\leavevmode
\epsfxsize=8cm
\epsffile{fig1-04.ps}
\end{center}\end{figure}


\begin{eqnarray*}\mbox{\boldmath$F$ }_1 &=& \mbox{\boldmath$n$ }_{1\ooalign{ \hf...
...ight) N_{\ooalign{ \hfill$\scriptstyle2$\hfill\crcr$\bigcirc$ }}
\end{eqnarray*}




Ken-ichi Yoshida
2001-04-18