next up previous
Next: 構成関係 Up: トラスの力学 Previous: トラスの変形---適合系

トラスの釣り合い---釣合い系

 

トラスに限らず、変形する物体が釣り合っているとは、そのいかなる部分を取 り出してもそれに働く力は合力、合モーメントが0となっていることを言う。 なお、釣合いは変形後で考えるのが合理的であるが、微小変形を考えるので変 形前、変形後の区別は余り意識しないで良い。以下では一応合理性を保って、 節点 i の位置ベクトルを と書くことにする。

さて、トラスの節点には外力が働く。これらは荷重であるか、反力であるか、 またはそれらの合力である。もちろん、特別な場合として、自由な節点は荷重 を受けていることになる。一般に、節点 i に働く外力を節点力と 言い、 で表す。 釣り合っているトラスの部材内部にも力が働き、これらを内力という。

連続体や、それらを組み合わせたものの釣合いを考えるとき、それらをいくつかの 部分に分けて、それらの間の力のやり取りを図示してみるとわかりやすい。 そのような図をfree body diagramと呼ぶ。例えばトラスの場合、ある節点 i での 力のやり取りを考えるには図1.1の様なものを考えれば良い。

  
図 1.1: free body diagram

図において 等は、ピン i が部材 I に及ぼす力(材端力 と呼ばれる内力)を表す。作用反作用の法則により、部材 I がピン i に 及ぼす力は となり、節点 i ではそこに集まる各部材が及 ぼす力と外力が釣り合っている。従って、

でなければならないが、式(1.2)を参照すれば上式は

 

と書けることになる。なお、トラス材端とピンの間に力のモーメントが働かないのは 接合に摩擦がないからである。

次に、一本の部材について考える。

  
図 1.2: equilibrium of a truss member

1.2(a)を参照すれば、部材 I の釣合いより、部材 I の端点 ij での材端力は釣り合っていなければならず、

でなければならない。従って、

でなければならない。すなわち、 は部材 I の軸方向を向く。 次に、トラス部材内部の力について考える。図1.2(b)を参照して、 トラス部材中の任意の位置で部材を切断したとき、断面に生じている力の 合力と合モーメントを とすれば、図の切り方では

を得る。これより、 は切断する位置に関係なく一定であり、節点 j を含む切り方をする場合を考慮して次のように言うことが出来る。すなわ ち、ある釣合い状態では、部材 I に固有の量 があって、部材 I を任意の位置で切ると、その断面に発生する合力 はその断面から外側 を向く部材軸方向単位ベクトルを として と書 ける。従って、特に であるので、式 (1.4)は次のように書き変えられる。

 

を部材 I の部材力と呼ぶ。 の符号は引張りが正になってい ることに注意されたい。一般に、式(1.5)を満たす の組を、釣合い系と呼ぶ。

が釣合い系を成すとき、外力 は全体として釣 り合っている。実際、

となる。各行最後の等式は、一つの部材 I を固定して i に関する和を考 えてみれば明かである。



N. Nishimura
Sat Jul 4 16:13:59 JST 1998