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R_{N,M}, S_{N,M}の計算

まず、次のルジャンドル陪関数に関する漸化式は有名である[11,12]。

  

式(27)の両辺に を乗じ、 M=N+1 としてル ジャンドル陪関数の性質 を用いると、

 

を得る。また、式(26)の両辺に を乗ずると

 

が得られる。式(28)、式(29)を用いると、 結局 (M 0)を計算するアルゴリズムは以下のようになる。

  1. 式(28)より に対して を計算する。
  2. M を固定し、式(29)より、 に 対して を順次計算していく。
ここに、P は式(11)の無限和を有限個で打ち切った時の上限である。 前述のように、このアルゴリズムより N 次の斉次多項式であることが容易にわかる。

の計算についても の場合と同様に以下のアルゴリズムが 導かれる。

また、負の M に対しては

を用いる。



N. Nishimura
Thu Sep 10 18:18:20 JST 1998