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3次元静弾性問題の場合

式(1)で与えられる静弾性問題の解(変位) ui は, D において次の積分表現を有する.

 
$\displaystyle u_i(x)= \int_{\partial D}\left(\Gamma_{ij}(x-y) t_j(y)
- T_{ij}(x,y) u_j(y)\right)dS_y$     (2)

ここに,ti は表面力である.また, $\Gamma_{ij}$ 及び Tij は 弾性学の基本解及びその二重層核であり,
  
$\displaystyle \Gamma_{ij}(x-y)$ = $\displaystyle \frac{1}{8\pi\mu}\left(
\delta_{ij}\partial^y_l\partial^y_l
-\frac{\lambda+\mu}{\lambda+2\mu}\partial^y_i\partial^y_j
\right)\vert xy\vert$  
Tij(x,y) = $\displaystyle C_{jknp}n_k(y)\partial^y_n\Gamma_{ip}(x-y)$  

となる.ここに Cijkl は弾性定数テンソ ル

\begin{displaymath}C_{ijkl}=\lambda\delta_{ij}\delta_{kl}+\mu(\delta_{ik}\delta_{jl}+\delta_{il}\delta_{jk})
\end{displaymath}

であり, $\delta_{ij}$ はKroneckerのdelta, $\partial^y_i$yi に関 する偏微分を表す.また,始点 x,終点 y を結ぶベクトルを xy と記した.

3次元静弾性学の基本解,及び二重層核の多重極展開は,原点を Oとして,|Ox|>|Oy|の時,次のように書かれる[4,5].

  
$\displaystyle {\Gamma_{ij}(x-y)=\frac{1}{8\pi\mu}\sum_{N=0}^{\infty}\sum_{M=-N}...
..._{ij,N,M}}(Ox)R_{N,M}(Oy)
+\overline{G^S_{i,N,M}}(Ox)(Oy)_{j}R_{N,M}(Oy)\Bigr)}$
$\displaystyle {T_{ij}(x,y)=\frac{1}{8\pi\mu}\sum_{N=0}^{\infty}\sum_{M=-N}^{N}
...
...l^y_p+\mu n_p \partial^y_j
+\mu \delta_{jp} n_k\partial^y_k\right\}R_{N,M}(Oy)}$
    $\displaystyle +\overline{G^S_{i,N,M}}(Ox)\left\{(3\lambda+2\mu)n_j
+\lambda n_j...
...\mu n_k (Oy)_k\partial^y_j
+\mu n_k (Oy)_j\partial^y_k\right\}R_{N,M}(Oy)\Bigr)$ (4)

ここに, $\overline{a}$a の複素共役, FSij,N,M(Ox) 及び GSi,N,M(Ox) は
FSij,N,M(Ox) = $\displaystyle \left(\frac{\lambda+3\mu}{\lambda+2\mu}\delta_{ij}
-\frac{\lambda+\mu}{\lambda+2\mu}(Ox)_{j}\partial^x_{i}\right)S_{N,M}(Ox)$  
GSi,N,M(Ox) = $\displaystyle \frac{\lambda+\mu}{\lambda+2\mu}\partial^x_{i}S_{N,M}(Ox)$  

であり, SN,MRN,M は原点 O から見た点 x の極座標 $(r,\theta,\phi)$ と,Legendre陪関数 PNM によって
RN,M(Ox) = $\displaystyle \frac{1}{(N+M)!}P_N^M(\cos\theta)e^{iM\phi}r^N$  
SN,M(Ox) = $\displaystyle (N-M)!P_N^M(\cos\theta)e^{iM\phi}\frac{1}{r^{N+1}}$  

と書ける関数である.


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Toru Takahashi 平成12年6月25日