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3次元定常Stokes流問題の場合

静弾性体の多重極展開において $\lambda\rightarrow\infty$ の極限 をとることで Stokes流に対する多重極展開 が得られる.この際,基本解については単に(3) で $\lambda\rightarrow\infty$ の極限をとれば良いが, 二重層核では(4) において $\lambda \to \infty$ としてもうまく行かない. この場合,Tij において $\lambda \to \infty$ としたものを
 
$\displaystyle T_{ij}(x,y)=\frac{1}{8\pi}\Bigl((\delta_{jp}-(Ox)_p\partial^x_j)
...
...tial^x_j((Oy)_l\partial^y_i+(Oy)_i\partial^y_l)n_l\Bigr)\frac{1}{\vert xy\vert}$     (5)

と陽に書き下した後に 若干の変形を行うと,(2)は,
 
$\displaystyle {\int_{S_0}\left(T_{ij}(x,y)u_j(y)-
\Gamma_{ij}(x-y)t_j(y)\right)dS_y}$
  = $\displaystyle \frac{1}{8\pi\mu}\sum_{N=0}^{\infty}\sum_{M=-N}^N
\Bigl(\overline{F^S_{ip,N,M}}(Ox)M_{p,N,M}(O)
+\overline{G^S_{i,N,M}}(Ox)M_{N,M}(O)\Bigr)$ (6)

となる.ここに,S0 $\partial D$ の部分であり,xS0 から十分遠く,

\begin{displaymath}\vert Ox\vert>\max_{y \in S_0}\vert Oy\vert
\end{displaymath}

が成り立っているものとする.また, Mp,N,M(O), MN,M(O) は O を原点とする多重極モーメントで,
  
Mp,N,M(O) = $\displaystyle \int_{S_0}\Bigl(\mu n_p u_j \partial^y_j
+\mu u_p n_k\partial^y_k-t_p\Bigr) R_{N,M}(Oy) dS_y$  
MN,M(O) = $\displaystyle \int_{S_0}\Bigl(\mu n_k(Oy)_k u_j \partial^y_j
+\mu u_j (Oy)_j n_k \partial^y_k-t_p(Oy)_p\Bigr) R_{N,M}(Oy) dS_y$  

と計算され, FSip,N,M(Ox), GSi,N,M(Ox) は,
FSip,N,M(Ox) = $\displaystyle \left(\delta_{ip}-(Ox)_{p}\partial^x_{i}\right)S_{N,M}(Ox)$  
GSi,N,M(Ox) = $\displaystyle \partial^x_{i}S_{N,M}(Ox)$  

と定義される.式(6)が3次元定常Stokes流問題における多 重極展開公式である.

以下に,多重極積分方程式法を運用する際に必要な諸公式を 静弾性問題の場合にならって誘導する.

まず,多重極モーメントの評価における原点を O から O' へ移動する場合, 対応する多重極モーメントの変換式は,次式のように計算される(M2M).

Mp,N',M'(O') = $\displaystyle \sum_{N=0}^{N'}\sum_{M=-N}^{N}R_{N,M}(O'O)
M_{p,N'-N,M'-M}(O)$  
MN',M'(O') = $\displaystyle \sum_{N=0}^{N'}\sum_{M=-N}^{N}R_{N,M}(O'O)
\left(M_{N'-N,M'-M}(O)+(O'O)_p M_{p,N'-N,M'-M}(O)\right)$  

多重極展開公式(6)を評価するにあたって, ある点 x0 の近傍の x に対しては,

\begin{eqnarray*}\lefteqn{\int_{S_0}\left(T_{ij}(x,y) u_j(y)
-\Gamma_{ij}(x-y) ...
...p,N,M}(x_0x)b_{p,N,M}(x_0)
+G^R_{i,N,M}(x_0x)b_{N,M}(x_0)\Bigr)
\end{eqnarray*}


が成り立つ. ここに bp,N,M(x0), bN,M(x0)は,x0 を展開中心 とした局所展開係数であり,
bp,N,M(x0) = $\displaystyle \sum_{N'=0}^{\infty}\sum_{M'=-N'}^{N'}(-1)^{N}
\overline{S_{N'+N,M'+M}}(Ox_0)M_{p,N',M'}(O)$  
bN,M(x0) = $\displaystyle \sum_{N'=0}^{\infty}\sum_{M'=-N'}^{N'}(-1)^{N}
\overline{S_{N'+N,M'+M}}(Ox_0)
\left(M_{N',M'}(O)-(Ox_0)_p M_{p,N',M'}(O)\right)$  

と計算される(M2L). 展開中心 x0x1 に移動すると,対応する局所係数の変換式は,次式のようになる(L2L).

\begin{eqnarray*}b_{p,N,M}(x_1)&=&\sum_{N'=N}^{\infty}\sum_{M'=-N'}^{N'}
R_{N'-...
...}(x_0x_1)\left(b_{N',M'}(x_0)-(x_0x_1)_p b_{p,N',M'}(x_0)\right)
\end{eqnarray*}


以上で,多重極の計算に必要なものが出そろったことになる.Stokes流問題に 対する多重極アルゴリズムは,静弾性問題のそれと変わるところはなく,この アルゴリズムと行列の反復解法を組み合わせれば,未知数 N の問題に対す る計算量 O(N) の高速解法が得られる.

最後に,Stokes流の問題において(2)から得られる積分方程式は, 解析領域の補領域が孤立した有界な部分を含んでいるとき,すなわち解析領域 に孤立した「穴」が開いているときには,解の一意性が成り立たないことに注 意する[6].


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Toru Takahashi 平成12年6月25日