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動弾性境界値問題とその解

簡単のために2次元散乱問題を考える.解くべき境界値問題は, 有界で滑らかな境界 $\partial D$ の外部領域 D において次式を満たす 変位 ui を求めるものである.

 
    $\displaystyle \mu u_{i,jj}+(\lambda+\mu)u_{j,ji}+\rho\omega^2 u_{i}=0 \quad
\mbox{ in }D$ (1)
    $\displaystyle u_{i}= \overline{u_{i}}\quad\mbox{ on }\partial D_{1}$  
    $\displaystyle \stackrel{n}{T}{\mbox{\boldmath$u$ }}_{i}=n_{j}C_{jikm} \partial_{k}u_{m}=\overline{t_{i}}
\quad\mbox{ on }\partial D_{2}$  
    $\displaystyle \mbox{\boldmath$u$ } - \mbox{\boldmath$u$ } _I \mbox{ に対する放射条件}$  

ここに $(\lambda,\mu)$$\rho$$\omega$ は各々Lame定数,密度,周波 数であり, $\partial D_{1,2}$ $\partial D_{1}\cup\partial
D_{2}=\partial D$ $\partial D_{1}\cap\partial D_{2}=\emptyset$ を満た す境界の部分, $\overline{\mbox{\boldmath$u$ }}$ $\overline{\mbox{\boldmath$t$ }}$ は境界で与えた 変位及び表面力, $\stackrel{n}{T}$ は表面力作用素, $\mbox{\boldmath$u$ }_I$ は入射波, Cijkl は弾性定数テンソルである.

境界値問題(1)の解 uiは,D において次のポテンシャル表現 を有する.

\begin{eqnarray*}u_{j}(\mbox{\boldmath$x$ })=u_{Ii}(\mbox{\boldmath$x$ })
+\int_...
...$y$ })u_{j}(\mbox{\boldmath$y$ })\right]ds(\mbox{\boldmath$y$ })
\end{eqnarray*}


ここに,基本解 $U_{ij}(\mbox{\boldmath$x$ }-\mbox{\boldmath$y$ })$, および二重層核 $W_{ij}(\mbox{\boldmath$x$ },\mbox{\boldmath$y$ })$ は次のように書ける.

\begin{eqnarray*}U_{ij}(\mbox{\boldmath$x$ },\mbox{\boldmath$y$ })&=&\frac{i}{4 ...
...\boldmath$y$ })U_{ik}(\mbox{\boldmath$x$ }-\mbox{\boldmath$y$ })
\end{eqnarray*}


また, Hn(1) は第1種 n 次のHankel関数であり,kL,Tは各々P波,S波の波数である.



Toru Takahashi 平成12年6月25日