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多重極展開

Hankel関数がHelmholtz方程式の基本解であることに注意すれば 基本解 $U_{ij}(\mbox{\boldmath$x$ }-\mbox{\boldmath$y$ })$ は delta 関数を法として

\begin{eqnarray*}U_{ij}(\mbox{\boldmath$x$ }-\mbox{\boldmath$y$ })
=\frac{i}{4 ...
...{(1)}(k_Tr)
+\partial_{ix}\partial_{jy}H_{0}^{(1)}(k_Lr) \Bigr\}
\end{eqnarray*}


を満たす.ここに eij は交代記号である.上式にGrafの加法定理を用いると, $\vert\mbox{\boldmath$x$ }\vert >\vert\mbox{\boldmath$y$ }\vert$ のとき,次の基本解の多重極展開

\begin{eqnarray*}U(\mbox{\boldmath$x$ },\mbox{\boldmath$y$ })=\frac{i}{4 \mu
k_...
...$ }) \partial_{jy}I _{-n}^{L}(\mbox{\boldmath$y$ })\Bigr\}(-1)^n
\end{eqnarray*}


を得る.ここに, $O_{n}^{K}(\mbox{\boldmath$x$ })=
H_{n}^{(1)}(k_Kr)e^{in\theta}$ $I_{n}^{K}(\mbox{\boldmath$x$ })=J_{n}(k_K
r)e^{in\theta}$ (K=L,T)であり, $(r, \theta)$ $\mbox{\boldmath$x$ }$ の極座標である.

これより一重層ポテンシャルの原点回りの多重極展開は次式となる.

 
$\displaystyle \int_{S} U_{ij}(\mbox{\boldmath$x$ }- \mbox{\boldmath$y$ })t_{j}(...
...TU}(O)
+\partial_{ix}O_{n}^{L}(\mbox{\boldmath$x$ })M_{-n}^{LU}(O)\Bigr\}(-1)^n$     (2)

ここに,S $\partial D$ の部分で,原点から見て $\mbox{\boldmath$x$ }$ より「近く」に あるものとする.また, MnT,LU(O) は多重極モーメントで以下のように表される.

\begin{eqnarray*}M_{n}^{TU}(O)&=&\int_{S} e_{jq}\partial_{q}I_{n}^T(\mbox{\boldm...
..._{j}I_{n}^{L}(\mbox{\boldmath$y$ })t_{j}ds(\mbox{\boldmath$y$ })
\end{eqnarray*}


これらのモーメントはスカラーであり,結局一重層ポテンシャルは2種類のモーメントによって記述されることが分かる.

同様に,二重層ポテンシャルの多重極展開と多重極モーメントは次式となる.

 
$\displaystyle \int_{\partial D} W_{ij}u_{j}ds(\mbox{\boldmath$y$ })=
\frac{i}{4...
...W}(O)
+\partial_{ix}O_{n}^{L}(\mbox{\boldmath$x$ }) M_{-n}^{LW}(O)\Bigr\}(-1)^n$     (3)

ここに,

\begin{eqnarray*}M_{n}^{TW}(O)&=& \int_{\partial D} C_{jknp}\partial_{n}n_{k}e_{...
..._{p}I_{n}^{L}(\mbox{\boldmath$y$ })u_{j}ds(\mbox{\boldmath$y$ })
\end{eqnarray*}


である.ここでもモーメントは2種類である.さらに,一重層,二重層は共通 の関数によって展開されているので,Green公式に現れる一重層と二重層の線 形結合も,結局2種類のモーメントで展開されることが分かる.



Toru Takahashi 平成12年6月25日