next up previous
Next: 数値計算法 Up: 動弾性問題における多重極境界積分方程式法の新しい定式化 A NEW FORMULATION Previous: 局所展開点の移動(L2L)

3次元問題の場合

3次元問題においても同様な定式化が可能である. 実際,基本解 Ump は,次のように書ける.

 
$\displaystyle U_{mp}(\mbox{\boldmath$x$ }-\mbox{\boldmath$y$ }) =
\frac{1}{4\pi...
...L r}}{r}\right),
\qquad r = \vert\mbox{\boldmath$x$ }-\mbox{\boldmath$y$ }\vert$     (8)

ここに, $\partial_i^{x},\partial_i^{y}$ はそれぞれ xi,yi に関する 偏微分を表す.基本解 Uij は次のように展開される.
 
$\displaystyle {U_{ip}(\mbox{\boldmath$x$ }-\mbox{\boldmath$y$ }) =
\frac{i}{4 \...
...rrow{Ox})
e_{rps}\partial_s^y \overline{{\cal I}}_n^m(k_T,\overrightarrow{Oy})}$
    $\displaystyle + \frac{i k_L}{4 \pi \mu k_T^2}\sum_{n=0}^{\infty}\sum_{m=-n}^{n}...
...verrightarrow{Ox})
\partial_p^y\overline{{\cal I}}_n^m(k_L,\overrightarrow{Oy})$ (9)

ここに, ${\cal O}_n^m(k,\overrightarrow{Ox})$, ${\cal
I}_n^m(k,\overrightarrow{Ox})$ は以下のように表される関数,

\begin{eqnarray*}{\cal O}_n^m(k,\overrightarrow{Ox})= h_n^{(1)}(k\vert\overright...
...ow{Ox})= j_n(k\vert\overrightarrow{Ox}\vert) Y_n^m(\widehat{Ox})
\end{eqnarray*}


$j_n(k\vert\overrightarrow{Ox}\vert)$, $h_n^{(1)}(k\vert\overrightarrow{Ox}\vert)$ はそれぞれ球Bessel関数, 球Hankel関数で, $\widehat{Ox}$ は単位ベクトル $\overrightarrow{Ox}/\vert\overrightarrow{Ox}\vert$ を意 味する.また, $Y_n^m(\widehat{Ox})$

\begin{eqnarray*}Y_n^m(\widehat{Ox})=\sqrt{\frac{(n-m)!}{(n+m)!}}P_n^m(\cos\theta) e^{i m \phi}
\end{eqnarray*}


で表され, $\theta,\phi$ $\overrightarrow{Ox}$を極座標で表した時の天頂角と方位角 で, $P_n^m(\cos\theta)$はルジャンドル陪関数である.

以上の関係式を用いて,3次元問題における多重極法を展開することが出来るが, 詳細は省略する.



Toru Takahashi 平成12年6月25日