next up previous
Next: 球関数の項数 Up: 数値解析法 Previous: 線形方程式の解法

球関数の計算

以上述べたアルゴリズムが実用的な計算時間で実行できるためには、球関数を 含む調和関数 を評価する為の高速な算法が必要である。 ここでは球関数を直接計算するのではなく (と定数だけ違う関数) に対する漸化式を用いることにより効率を高めている。

今、

とおく。もちろん必要な関数は

によって求められる。更に関数

により導入する。ここに である。良く知られた球関数の 漸化式を用いることにより、次の2つの漸化式を得る。

  

更に定義、及び(16)から

 

が得られ、これらと(17)から

 

が成り立つ。以上のことから を計算するための次のアルゴ リズムが得られる。

  1. に対して(19)によって を求める。

  2. に対して(18)、及び

    を順次用いることにより を求める。

以上のアルゴリズムからも の多項式であることが わかる。なお、以上のアルゴリズムを遂行するに当たって、全ての n,m に 対して をストアする必要はなく、固定した m に対して の2個の数のみを記憶すれば良いことに注意する。



N. Nishimura
Mon Feb 23 18:28:07 JST 1998