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時間シフトの処理

式(18),(19) 及び 後述の(29)と(31) におけるデルタ関数の畳み込みは,相手とする関数を時間軸 についてシフトさせるものである.この処理方法には 時間域あるいは周波数域で行う方法がある. 式(18),(29),(31)は前者の方法で行う. 他方,式(19)は時間微分 $\partial_t$ を含むので 前者の方法では扱い難い.そこで後者を選択する.まず, 式(19)のデルタ関数を次式のように直交展開する.

\begin{eqnarray*}\delta(t-(\mbox{\boldmath$o$ }-\mbox{\boldmath$s$ })\cdot\mbox{...
...psilon_n\frac{T_n(ct/ R_c)\cos{n\theta}}{\sqrt{1-c^2t^2/ R_c^2}}
\end{eqnarray*}


ここに,$\theta$ $\mbox{\boldmath$k$ }$ $\mbox{\boldmath$o$ }-\mbox{\boldmath$s$ }$ の なす角度, $\epsilon_n=1$ (n=0) or 2 $(n\ge 1)$である.また, Tnn 次のTchebycheff多項式である.これを時間に関して Fourier変換すると,

\begin{eqnarray*}e^{i\omega R_c\cos\theta/c}
=\sum_{n=0}^\infty\epsilon_n i^n J_n(\omega R_c/c)\cos{n\theta}
\end{eqnarray*}


を得る.ここに,Jn は第1種 n 次のBessel関数である. この右辺の無限和を有限項 $N_\delta$ で打ち切ったものを, 式(19)をFourier変換して得られる関係

\begin{eqnarray*}\widehat{{\cal I}}_q^z(\mbox{\boldmath$o$ },\omega,\mbox{\boldm...
..._{1q}^z(\mbox{\boldmath$s$ },\omega,\mbox{\boldmath$k$ })\right)
\end{eqnarray*}


の指数関数に対して用いる. ここに, $\widehat{(\ )}$ は時間に関するFourier変換であり, FFTで評価する.

Toru Takahashi
2001-07-18