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時間域動弾性問題と積分方程式

2次元領域 $D\subset{\sf R}^2$ における動弾性学の初期値境界値問題とは, 与えられた初期条件と境界条件の下で,支配方程式
 
$\displaystyle c_2^2 u_{i,jj}+(c_1^2-c_2^2)u_{j,ij}+b_i=\ddot{u}_i$     (1)

を満足する関数 $u_i(\mbox{\boldmath$x$ },t)$ ( $\mbox{\boldmath$x$ }=(x_1,x_2)$$\in D$, $t\in[0,\infty)$) を 求める問題である.ここに, $\mbox{\boldmath$u$ }$ は変位ベクトル, $\mbox{\boldmath$x$ }$t は それぞれ空間変数と時間変数である. また,c1c2 はそれぞれ縦波と横波の速度,$\rho$ は密度であり, $\mbox{\boldmath$b$ }$ は単位質量当たりの物体力ベクトルを表す. なお,表記法として総和規約を用い,添字の範囲は1,2である. また,xi に関する空間微分を $(\ )_{,i}$ あるいは $\partial_i$ で, 時間微分を $\dot{(\ )}$ あるいは $\partial_t$ で表す.

さて, 領域 D の境界を S と表し,簡単のために物体力と初期条件を零とすると, 式(1)より次の境界積分方程式が得られる.

 
$\displaystyle {\frac{1}{2}u_i(\mbox{\boldmath$x$ },t)+\mbox{v.p.}\int_{S}T_{ij}(\mbox{\boldmath$x$ },\mbox{\boldmath$y$ },t)
*u_j(\mbox{\boldmath$y$ },t)dS_y}$
    $\displaystyle =\int_S \Gamma_{ij}(\mbox{\boldmath$x$ }-\mbox{\boldmath$y$ },t)*t_j(\mbox{\boldmath$y$ },t)dS_y\quad \mbox{\boldmath$x$ }\in S$ (2)

ここに, $\mbox{v.p.}$ が付いた積分はCauchyの主値を表し, * は時間に関する畳み込みを表す.また,右辺及び左辺第2項の積分は それぞれ一重層及び二重層ポテンシャルと呼ばれ, その積分核 ${\bf\Gamma}$ 及び $\mbox{\boldmath$T$ }$,即ち 動弾性学における基本解及びその二重層核は,それぞれ
  
$\displaystyle {\Gamma_{ij}(\mbox{\boldmath$x$ },t)=
\frac{1}{2\pi\mu}\left[\fra...
...ox{\boldmath$x$ }\vert^2/c_2^2}_+}\delta_{ij}-c_2^2\partial_i\partial_j\right.}$
    $\displaystyle \left.\int\!\!\!\int\left(\frac{dtdt}{\sqrt{t^2-\vert\mbox{\boldm...
...-\frac{dtdt}{\sqrt{t^2-\vert\mbox{\boldmath$x$ }\vert^2/c_1^2}_+}\right)\right]$ (3)
$\displaystyle {T_{ij}(\mbox{\boldmath$x$ },\mbox{\boldmath$y$ },t)=C_{jknm}n_{k...
...partial}{\partial y_n}\Gamma_{im}(\mbox{\boldmath$x$ }-\mbox{\boldmath$y$ },t)}$

と表される.ここに, $\delta_{ij}$ はKroneckerのデルタ, Cijkl は弾性定数テンソルであり, $\lambda$ $(=\rho(c_1^2-2c_2^2))$$\mu$ $(=\rho c_2^2)$ をLameの定数 とすると, $C_{ijkl}=\lambda\delta_{ij}\delta_{kl}
+\mu(\delta_{ik}\delta_{jl}+\delta_{il}\delta_{jk})$ と書ける. $\mbox{\boldmath$n$ }$ は境界外向き単位法線ベクトルを表し, $\mbox{\boldmath$t$ }$ は表面力ベクトルであって $t_j=C_{jknm}n_{k}\partial_n u_m$ と 定義する. また,$(\ )_+$H をHeaviside関数とするとき次のように書ける.

\begin{eqnarray*}\frac{1}{\sqrt{t^2-\vert\mbox{\boldmath$x$ }\vert^2/c^2}}_+=\fr...
...h$x$ }\vert/c)}{\sqrt{t^2-\vert\mbox{\boldmath$x$ }\vert^2/c^2}}
\end{eqnarray*}


さて,本論文の目的は式(2)の高速解法を提案する事であり, それは同式の一重層及び二重層ポテンシャルの高速算法を構成する 事に他ならない.その基礎を成すのが積分核 ${\bf\Gamma}$ 及び $\mbox{\boldmath$T$ }$ の 平面波展開である.


Toru Takahashi
2001-07-18