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基本解とその二重層核の平面波展開

はじめに式(3)の ${\bf\Gamma}$ を変形する. この際,周波数域動弾性問題に対する多重極積分方程式法を構成するにあたって 吉田ら[8]が示した基本解の形式を用いる. この形式は多重極モーメントの数を少なくし得る利点を有し, 時間域の場合には次式で表される.
 
$\displaystyle \Gamma_{ij}(\mbox{\boldmath$x$ },t)=\frac{1}{\rho}
\left[\partial...
...int\frac{1}{2\pi\sqrt{t^2-\vert\mbox{\boldmath$x$ }\vert^2/c_2^2}_+}dtdt\right]$     (5)

ここに,eij は交代記号である.上式より, ${\bf\Gamma}$ の平面波展開を求める事は,
 
$\displaystyle \Lambda_{ij}(\mbox{\boldmath$x$ },t;c)=\partial_i\partial_j\int\!\!\!\int
\frac{1}{2\pi\sqrt{t^2-\vert\mbox{\boldmath$x$ }\vert^2/c^2}_+}dtdt$      

と定義する関数 ${\bf\Lambda}$ の展開式を求める事に帰着できる. ここに c は定数である.

関数 ${\bf\Lambda}$ の時間と空間に関するFourier変換は,

 
$\displaystyle \frac{\xi_i\xi_j}{\omega^2(\vert\mbox{\boldmath$\xi$ }\vert^2-\omega^2/c^2)}$     (6)

となる.ここに,$\omega$ 及び $\xi_i$ は時間変数 t 及び 空間変数 xi に対するFourier変換のパラメータである. 式(6)の逆変換
 
$\displaystyle \frac{1}{(2\pi)^3}\int\!\!\!\int\!\!\!\int
\frac{\xi_i\xi_je^{i\x...
...{\omega^2(\vert\mbox{\boldmath$\xi$ }\vert^2-\omega^2/c^2)}
d\xi_1d\xi_2d\omega$     (7)

を考え,$\xi_2$$\omega$ に関する積分を実行する. この際,極限吸収原理により,実軸上の $\omega$ に関する 積分を $\mathop{\rm Im}\omega>0$ 側からの極限とすれば,式(7) は因果律を満たす ${\bf\Lambda}$ に一致し, $\mathop{\rm Im}\omega<0$ とすれば反因果律を満たす関数
$\displaystyle \Lambda'_{ij}(\mbox{\boldmath$x$ },t;c)=\partial_i\partial_j\int\...
...boldmath$x$ }\vert/c)}{2\pi\sqrt{t^2-\vert\mbox{\boldmath$x$ }\vert^2/c^2}}dtdt$     (8)

に一致する事に注意する[9]. また, $1/\omega^2$ の時間に関する逆変換を $\mathop{\rm Im}\omega {> \atop <} 0$ 側 からの極限とするとき,性質の良い偶関数 f に対して

\begin{eqnarray*}\lim_{\mathop{\rm Im}\omega\rightarrow\pm 0}
\int_{-\infty}^{\i...
...-\infty}^{\infty}\frac{f(\omega)e^{-i\omega t}}{\omega^2}d\omega
\end{eqnarray*}


が成立する事にも注意すると,式(7)は
 
$\displaystyle {\lim_{\mathop{\rm Im}\omega\rightarrow\pm 0}
\frac{1}{(2\pi)^3}\...
...omega^2(\vert\mbox{\boldmath$\xi$ }\vert^2-\omega^2/c^2)}d\xi_1 d\xi_2 d\omega}$
    $\displaystyle =\mp\frac{t}{2(2\pi)^2}\int\!\!\!\int\frac{\xi_i\xi_j e^{i\xi\cdo...
...^2(\vert\mbox{\boldmath$\xi$ }\vert^2-\omega^2/c^2)}d\xi_1 d\xi_2 d\omega\qquad$ (9)

と書ける.ここに, $\mbox{p.f.}$ が付いた積分記号は発散積分の有限部分である. 式(9)の右辺第1項は,
 
$\displaystyle \mp\frac{t}{4\pi}\left(\frac{\delta_{ij}}{\vert\mbox{\boldmath$x$ }\vert^2}
-\frac{2x_ix_j}{\vert\mbox{\boldmath$x$ }\vert^4}\right)$     (10)

と計算される.他方,式(9)の右辺第2項は, $\eta_i=\omega\xi_i/c$ と変数変換し, x2>0 と仮定した上で $\eta_2$ についての積分を実行すると,
 
$\displaystyle \frac{1}{2(2\pi)^2}\mbox{p.f.}\int\!\!\!\int_{\vert\eta_1\vert>1}...
...frac{k_ik_j}{c^2}\delta(t-\mbox{\boldmath$x$ }\cdot\mbox{\boldmath$k$ }/c)d\phi$     (11)

となる.ここに,$\delta$ はDiracのデルタ関数, $\mbox{\boldmath$k$ }=(k_1,k_2)=(\cos\phi,\sin\phi)$x1 軸と 角度 $\phi $ をなす単位ベクトルである. また,式(11)第1項に含まれる $\eta_2$ $i\mathop{\rm sgn}(\omega)\sqrt{\eta_1^2-1}$ として計算する. 作用素 $\mathop{\cal H}$ $\displaystyle\mathop{\cal H}={\rm v.p.}\frac{1}{t}*{}$ と 定義したHilbert変換である.ここに,v.p.はCauchyの主値を意味する. 式(9),(10),(11)より 誘導される次式が ${\bf\Lambda}$ の平面波展開である.
 
$\displaystyle \Lambda_{ij}(\mbox{\boldmath$x$ },t;c)-\Lambda'_{ij}(\mbox{\boldm...
...frac{k_ik_j}{c^2}\delta(t-\mbox{\boldmath$x$ }\cdot\mbox{\boldmath$k$ }/c)d\phi$     (12)

なお,x2>0 と仮定して計算を進めたが,x2<0 の場合にも 式(12)は成り立つ.これと式(5)より,
 
$\displaystyle \Gamma_{ij}(\mbox{\boldmath$x$ },t)-\Gamma'_{ij}(\mbox{\boldmath$...
...o c_2^2}\delta(t-\mbox{\boldmath$x$ }\cdot\mbox{\boldmath$k$ }/c_2)\right)d\phi$     (13)

が得られる.ここに,関数 ${\bf\Gamma'}$
$\displaystyle \Gamma'_{ij}(\mbox{\boldmath$x$ },t)=
\frac{1}{\rho}\left(\Lambda...
...dmath$x$ },t;c_1)
+e_{ip}e_{jq}\Lambda'_{pq}(\mbox{\boldmath$x$ },t;c_2)\right)$      

と定義される関数であって,これは反因果律を満足する動弾性学の基本解である. 式(13)が本節の目的である2次元動弾性学の基本解 ${\bf\Gamma}$ の 平面波展開である.他方,二重層核 $\mbox{\boldmath$T$ }$ の展開式は 式(13)を式(4)に代入すれば得られる.
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Toru Takahashi
2001-07-18