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平面波展開による層ポテンシャルの評価

Luら[5]の手法を拡張し, 2次元動弾性問題における層ポテンシャルの平面波展開による算法 を構成する.今,二つの交わらない円形領域 CsCo を考える. それぞれの中心を $\mbox{\boldmath$s$ }$ $\mbox{\boldmath$o$ }$,半径を共に R, その中心間距離 $\vert\mbox{\boldmath$o$ }-\mbox{\boldmath$s$ }\vert$Rc (> 2 R) とする. また,Cs に含まれる境界 S の部分を S0 とする. このとき, $S_0\times[0,t]$ に分布した密度 $\mbox{\boldmath$t$ }$ 及び $\mbox{\boldmath$u$ }$ による 一重層及び二重層ポテンシャルを 選点 $(\mbox{\boldmath$x$ },t)$ ( $\mbox{\boldmath$x$ }\in C_o$ $t\in[0,\infty)$) に対して 評価するのがここでの目的である. この評価に際して式(13)を利用するが,これを 一重層ポテンシャルの ${\bf\Gamma}$ に代入すると, 反因果律を満たす ${\bf\Gamma'}$ を含む項が現れる. しかし,この項は層ポテンシャルにおける区間 [0,t] の時間積分には 寄与しない事がわかる. 次に,式(13)の右辺を用いた層ポテンシャル の算法を考える. そのために,密度 $\mbox{\boldmath$u$ }$ 及び $\mbox{\boldmath$t$ }$ (これらを 代表して $\varphi$ と書く) のそれぞれを, 次式のように有限の時間帯 (T1z,T2z] でのみ非零と成り得る 関数 $\varphi^z$ $(z=0,1,\ldots)$ に区分けする.
$\displaystyle \begin{array}{l}
\displaystyle\varphi(\mbox{\boldmath$x$ },t)=\su...
...th$x$ },t)\ (T_1^z < t \le T_2^z)\ \mbox{or}\ 0\ (\mbox{otherwise})
\end{array}$     (14)

ここで,時間 T2z-T1z は全ての z について等しいとする. このとき,c1 > c2 である事に注意すると,
 
$\displaystyle R_c - 2R \ge c_1(T_2^z-T_1^z)$     (15)

が満足されていれば,t>T2z のとき $S_0\times(T_1^z,T_2^z]$ 上の既知の 密度 $\mbox{\boldmath$t$ }^z$ 及び $\mbox{\boldmath$u$ }^z$ によるそれぞれのポテンシャルは, 選点 $(\mbox{\boldmath$x$ },t)$ ( $\mbox{\boldmath$x$ }\in C_o$t > T2z) に 対して次のように計算できる. 00 0  
  
$\displaystyle %
{\int_{S_0}\Gamma_{ij}(\mbox{\boldmath$x$ }-\mbox{\boldmath$y$ },t)*t_j^z(\mbox{\boldmath$y$ },t)dS_y}$
    $\displaystyle =\frac{\mathop{\cal H}}{(2\pi)^2}
\int_0^{2\pi}\left[k_i\delta(t-...
.../c_2)
*{\cal O}_{12}^z(\mbox{\boldmath$s$ },t,\mbox{\boldmath$k$ })\right]d\phi$  
      (1)
$\displaystyle {\int_{S_0}T_{ij}(\mbox{\boldmath$x$ },\mbox{\boldmath$y$ },t)*u_j^z(\mbox{\boldmath$y$ },t)dS_y}$
    $\displaystyle =\frac{\mathop{\cal H}}{(2\pi)^2}
\int_0^{2\pi}\partial_t\left[k_...
.../c_2)
*{\cal O}_{22}^z(\mbox{\boldmath$s$ },t,\mbox{\boldmath$k$ })\right]d\phi$  

11 ここに, ${\cal O}_{pq}^{z}$ (p,q=1,2) は, 00 0  
    
$\displaystyle %
{\cal O}_{11}^{z}(\mbox{\boldmath$s$ },t,\mbox{\boldmath$k$ })$ = $\displaystyle \frac{1}{\rho c_1^2}\int_{S_0} k_j
t_j^z(\mbox{\boldmath$y$ },t-(\mbox{\boldmath$s$ }-\mbox{\boldmath$y$ })\cdot\mbox{\boldmath$k$ }/c_1)dS_y$ (1)
$\displaystyle {\cal O}_{12}^{z}(\mbox{\boldmath$s$ },t,\mbox{\boldmath$k$ })$ = $\displaystyle \frac{1}{\rho c_2^2}\int_{S_0} e_{jq}k_qt_j^z(\mbox{\boldmath$y$ },t-(\mbox{\boldmath$s$ }-\mbox{\boldmath$y$ })\cdot\mbox{\boldmath$k$ }/c_2)dS_y$ (2)
$\displaystyle {\cal O}_{21}^z(\mbox{\boldmath$s$ },t,\mbox{\boldmath$k$ })$ = $\displaystyle \frac{1}{\rho c_1^3}\int_{S_0}C_{jknm}n_k k_n k_m u_j^z(\mbox{\bo...
...t-(\mbox{\boldmath$s$ }-\mbox{\boldmath$y$ })\cdot\mbox{\boldmath$k$ }/c_1)dS_y$ (3)
$\displaystyle {\cal O}_{22}^z(\mbox{\boldmath$s$ },t,\mbox{\boldmath$k$ })$ = $\displaystyle \frac{1}{\rho
c_2^3}\int_{S_0}C_{jknm}n_k k_n e_{mq} k_q u_j^z(\m...
...t-(\mbox{\boldmath$s$ }-\mbox{\boldmath$y$ })\cdot\mbox{\boldmath$k$ }/c_2)dS_y$ (4)

11 と定義した量であり, 時間区間 (T1z,T2z] の点 $\mbox{\boldmath$s$ }$ に関する outgoing ray と呼ぶ. なお,これらの量は多重極法における多重極モーメント[2]に対応する量である.

式(16)のように点 $\mbox{\boldmath$s$ }$ を介して記述された層ポテンシャルは, 点 $\mbox{\boldmath$o$ }$ の近傍の選点 $(\mbox{\boldmath$x$ },t)$ ( $\mbox{\boldmath$x$ }\in C_o$t > T2z) に対して次のように書ける.

 
$\displaystyle {\int_{S_0}\!(T_{ij}(\mbox{\boldmath$x$ },\mbox{\boldmath$y$ },t)...
...mbox{\boldmath$x$ }-\mbox{\boldmath$y$ },t)*t_j^z(\mbox{\boldmath$y$ },t))dS_y}$
    $\displaystyle =\frac{\mathop{\cal H}}{(2\pi)^2}
\int_0^{2\pi}\left[k_i\delta(t-...
... }/c_2)*{\cal I}_{2}^z(\mbox{\boldmath$o$ },t,\mbox{\boldmath$k$ })\right]d\phi$  

ここに, ${\cal I}_{q}^z$ (q=1,2) は,
 
$\displaystyle {\cal I}_q^z(\mbox{\boldmath$o$ },t,\mbox{\boldmath$k$ })=\delta(...
...x{\boldmath$k$ })-{\cal O}_{1q}^z(\mbox{\boldmath$s$ },t,\mbox{\boldmath$k$ }))$     (1)

と計算される量であり, 時間区間 (T1z,T2z] の点 $\mbox{\boldmath$o$ }$ に関するincoming rayと呼ぶ. なお,式(18)は多重極法における局所展開[2] に対応するものであり,incoming rayが局所係数に対応する.

区分された密度による層ポテンシャルを重ね合わせる事によって, 本来求めるべき $S_0\times[0,t]$ 上の密度 $\mbox{\boldmath$u$ }$ 及び $\mbox{\boldmath$t$ }$ に よる層ポテンシャルが求められる.すなわち,式(15)が成り立つとき, $\mbox{\boldmath$x$ }\in C_o$ $t\in(T_1^z,T_2^z]$ に対しては式(18) を z-1 まで重ね合わせる事により次のようになる.

 
$\displaystyle {\int_{S_0}\!(T_{ij}(\mbox{\boldmath$x$ },\mbox{\boldmath$y$ },t)...
...}(\mbox{\boldmath$x$ }-\mbox{\boldmath$y$ },t)*t_j(\mbox{\boldmath$y$ },t)dS_y}$
    $\displaystyle =\sum_{v=0}^{z-1}\frac{\mathop{\cal H}}{(2\pi)^2}
\int_0^{2\pi}\l...
.../c_2)*{\cal I}_{2}^{v}(\mbox{\boldmath$o$ },t,\mbox{\boldmath$k$ })\right]d\phi$  


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Toru Takahashi
2001-07-18