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積分方程式の定式化

無限領域 D=R2 にクラック S が存在している場合を取り扱う.ここに, クラックとは,自分自身と交わらない,縁 $\partial S$ を有する,一般には 複数の滑らかな曲面である.Laplaceクラック問題は次のように定式化される.

\begin{eqnarray*}\mbox{支配方程式}&&\\ \Delta u(\fat{x})&
=& 0\quad \mbox{in } ...
...ty}(\fat{x}) \quad \mbox{as}\quad
\vert\fat{x}\vert \to \infty
\end{eqnarray*}


ここに,上つきの +(-) はクラックの単位法線ベクトル $\mbox{\boldmath$\space n $ }$ の正 (負)の向きからの極限値を意味し,$\phi$ はクラック上での u の不連続量, すなわち開口変位であり, $u^{\infty}$ はクラックが存在しない時の解である.

この問題の解に関する積分表示は次のようになる.

 
$\displaystyle u(\fat{x})= u^{\infty}(\fat{x})+\int_{S}
\frac{\partial G(\fat{x}-\fat{y})}{\partial n_y} \phi(\fat{y}) dS_{y}$     (1)

ここに, G は2次元Laplace方程式の基本解であり,次のように書ける.

\begin{displaymath}G(\fat{x}-\fat{y})=-\frac{1}{2\pi} \log\vert\fat{x}-\fat{y}\vert
\end{displaymath} (2)

また, $\frac{\partial}{\partial n_y}$$\fat{y}$に関する法線微分を表す.式 (1)を$\fat{x}$に関し法線微分して領域内の点 $\fat{x}$ をクラック上に極限移 行し,境界条件を考慮すると,開口変位に関する超特異積分方程式
 
$\displaystyle - \frac{\partial u^{\infty}(\fat{x})}{\partial n_x} = \mbox{p.f.}...
...frac{\partial G(\fat{x}-\fat{y})}{\partial n_x \partial n_y} \phi(\fat{y}) dS_y$     (3)

が得られる.ここに,p.f.は発散積分の有限部分を意味する.

Ken-ichi Yoshida
2001-06-15