next up previous
Next: 直接積分について Up: 数値計算の方法について Previous: 無限和の打ち切り項数について

Ynmの計算

Ynmの計算は,Pnmを計算してから $\sqrt{\frac{(n-m)!}{(n+m)!}}e^{i
m \phi}$をかけるのではなく,次の方法で計算する.Ynmには次の二つの 漸化式がある.
 
$\displaystyle Y_{N+1}^{N+1}=(x_1+i x_2) \sqrt{\frac{2N+1}{2N+2}} Y_N^N$     (21)


 
$\displaystyle \sqrt{(N+M+1)(N-M+1)}Y_{N+1}^M - x_3 (2N+1) Y_N^M
+ \sqrt{(N+M)(N-M)} Y_{N-1}^{M} = 0 \ (N \ge M)$     (22)

ここに,xi $\widehat{Ox}$の直交直線座標における成分を表す. 式(23),(24)を使うと,結局Ynmを計算するアルゴリズムは次のように なる.
1.
Y00=1
2.
式(23)より N=1,2,....,p に対して YNN を計算する.
3.
M を固定し,式(24)より, $N=M,M+1,\ldots,p$ に 対して YNM を順次計算していく.
ここに,pは無限和の打ち切り項数である.また,負のMに対しては, 次のように計算する.

\begin{eqnarray*}Y_N^{-M} = (-1)^M \overline{Y}_N^M \ (M \ge 0)
\end{eqnarray*}




Ken-ichi Yoshida
2000-08-31