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積分方程式の定式化

無限領域 D=R3 にクラック S が存在している場合を取り扱う.ここに, クラックとは,自分自身と交わらない,縁 $\partial S$ を有する,一般には 複数の滑らかな曲面である.動弾性クラック問題は次のように定式化される. なお,本論文では入射波の時間依存は $e^{-i \omega t}$とする.

\begin{eqnarray*}&&\mbox{支配方程式}\\ &&C_{ijkl}u_{k,lj}+\rho \omega^2 u_i
= 0...
...ox{\boldmath$ u $ }-\mbox{\boldmath$ u^I $ }は放射条件を満たす.
\end{eqnarray*}


ここに,Cijklは 弾性定数テンソルで $C_{ijkl}=\lambda \delta_{ij}\delta_{kl}+
\mu(\delta_{ik}\delta_{jl}+\delta_{il}\delta_{jk})$ と表され, $(\lambda, \mu)$ はLame定数, $\delta_{ij}$ はクロネッカーのデル タである.また,$\rho$は密度, $\mbox{\boldmath$\space u $ }$は変位, $\mbox{\boldmath$\space u $ }^I$は入射波, 上つきの +(-) はクラックの単位法線ベクトル $\mbox{\boldmath$\space n $ }$ の正(負)の向きか らの極限値を意味し, $\mbox{\boldmath$\space t $ }$ はトラクションであって,変位 $\mbox{\boldmath$\space u $ }$ に よって ti=Cijkluk,lnj と書ける.更に, $\mbox{\boldmath$\space \phi $ }$ はクラック上 での $\mbox{\boldmath$\space u $ }$ の不連続量, すなわち開口変位であり,

\begin{displaymath}\mbox{\boldmath$ \phi $ }:=\mbox{\boldmath$ u $ }^{+} - \mbox{\boldmath$ u $ }^{-}
\end{displaymath}

と表される.

この問題の解の変位に関する積分表示は次のようになる.

 
$\displaystyle u_{i}(\mbox{\boldmath$ x $ })= u_{i}^{I}(\mbox{\boldmath$ x $ })+...
...ath$ y $ })
n_{k}(\mbox{\boldmath$ y $ }) \phi_{j}(\mbox{\boldmath$ y $ }) dS_y$     (1)

ここに, $\Gamma_{ij}(\mbox{\boldmath$\space x $ }-\mbox{\boldmath$\space y $ }) $ は周波数域の3次元動弾性学の基本 解であり,次のように書ける.
 
$\displaystyle \Gamma_{ij}(\mbox{\boldmath$ x $ }-\mbox{\boldmath$ y $ }) =
\fra...
...i \partial y_j}
\left(\frac{e^{i k_T r}}{r}-\frac{e^{i k_L r}}{r}\right)\right)$     (2)

また,r $\vert\mbox{\boldmath$\space x $ }-\mbox{\boldmath$\space y $ }\vert$を表しており,kT,kLは横波,縦波の波数 で

\begin{eqnarray*}k_T=\sqrt{\frac{\rho}{\mu}}\omega,\quad
k_L=\sqrt{\frac{\rho}{\lambda+2\mu}}\omega
\end{eqnarray*}


と書ける.式(1)を微分して領域内の点 $\mbox{\boldmath$\space x $ }$ をクラック上に極限移行し, 境界条件を考慮すると,開口変位に関する超特異積分方程式
 
$\displaystyle t^{I}_{a}(\mbox{\boldmath$ x $ })= - n_{b}(\mbox{\boldmath$ x $ }...
... $ })
\phi_{j}(\mbox{\boldmath$ y $ }) dS_{y}\quad \mbox{\boldmath$ x $ } \in S$     (3)

が得られる.ここに,p.f.は発散積分の有限部分を意味し, $\mbox{\boldmath$\space t $ }^{I}$ $\mbox{\boldmath$\space u $ }^I$ に対応するトラクション である.さらに,上式にいわゆる正則化[27]を用いて次のように変 形することが出来る.
 
$\displaystyle t_{a}^{I}(\mbox{\boldmath$ x $ })$ = $\displaystyle n_{b}(\mbox{\boldmath$ x $ }) C_{ablm}
\mbox{v.p.}\int_{S} e_{rkl...
...)
e_{riq} \phi_{j,i}(\mbox{\boldmath$ y $ }) n_q(\mbox{\boldmath$ y $ }) dS_{y}$  
    $\displaystyle - n_{b}(\mbox{\boldmath$ x $ }) C_{ablm} \rho \omega^2 \int_{S} \...
...dmath$ y $ }) n_l(\mbox{\boldmath$ y $ }) \phi_j(\mbox{\boldmath$ y $ }) dS_{y}$ (4)

ここに,eijk は交代記号,v.p.はCauchyの主値を意味する.以上がクラッ クによる弾性波の散乱問題における積分方程式である.



Ken-ichi Yoshida
2000-08-31