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基本解の展開

多重極法では最初に基本解に対する変数分離形の展開を求める. 動弾性学の基本解の多重極展開を行なう.まず,基本解(2)は,$r
\ne 0$の時,次のように変形出来る.
 
$\displaystyle \Gamma_{ip}(\mbox{\boldmath$ x $ }-\mbox{\boldmath$ y $ }) =
\fra...
...
\frac{e^{i k_T r}}{r} + \partial_i^x \partial_p^y
\frac{e^{i k_L r}}{r}\right)$     (5)

ここに, $\partial_i^{x},\partial_i^{y}$ はそれぞれ xi,yi に 関する偏微分を表す.なお,変形にあたって,次の式を用いた.

\begin{eqnarray*}(\Delta+k_T^2)\frac{e^{i k_T r}}{r}=0 \quad (r \ne 0)
\end{eqnarray*}


ここに,$\Delta$はLaplacianである.さらに,次の3次元Helmholtz方程式の基 本解の展開式を用いる.
 
$\displaystyle \frac{e^{ik r}}{4 \pi r}
=\frac{i k}{4 \pi}\sum_{n=0}^{\infty}\su...
...tarrow{Ox})
\quad \vert\overrightarrow{Ox}\vert > \vert\overrightarrow{Oy}\vert$     (6)

ここに, $\overline{A}$A の複素共役を意味し,関数 ${\cal O}_n^m(k,\overrightarrow{Ox})$ ${\cal I}_n^m(k,\overrightarrow{Ox})$は以下のように表さ れる.

\begin{eqnarray*}{\cal O}_n^m(k,\overrightarrow{Ox})= h_n^{(1)}(k\vert\overright...
...ow{Ox})= j_n(k\vert\overrightarrow{Ox}\vert) Y_n^m(\widehat{Ox})
\end{eqnarray*}


上式で, $j_n(k\vert\overrightarrow{Ox}\vert)$ $h_n^{(1)}(k\vert\overrightarrow{Ox}\vert)$はそれぞれ球Bessel関 数,球Hankel関数で, $\widehat{Ox}$は単位ベクトル $\overrightarrow{Ox}/\vert\overrightarrow{Ox}\vert$を意味する.また, $Y_n^m(\widehat{Ox})$

\begin{eqnarray*}Y_n^m(\widehat{Ox})=\sqrt{\frac{(n-m)!}{(n+m)!}}P_n^m(\cos\theta) e^{i m \phi}
\end{eqnarray*}


で表される.ここに,$\theta$$\phi$ $\overrightarrow{Ox}$を極座標で表した時の天頂角 と方位角で, $P_n^m(\cos\theta)$はLegendre陪関数である.

式(6)を式(5)に代入すれば,次の基本解の展開が得られる.

 
$\displaystyle {\Gamma_{ip}(\mbox{\boldmath$ x $ }-\mbox{\boldmath$ y $ })=}$
    $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}\sum_{m=-n}^{n} D^{T,\cal O}_{ri,n,m}(\overrig...
...verrightarrow{Ox})
\partial_p^y\overline{{\cal I}}_n^m(k_L,\overrightarrow{Oy})$  
      (7)

ここに,関数 $D^{T,{\cal O}}_{ri,n,m}(\overrightarrow{Ox}),D^{L,{\cal
O}}_{i,n,m}(\overrightarrow{Ox})$
  
$\displaystyle D^{T,{\cal O}}_{ri,n,m}(\overrightarrow{Ox})$ = $\displaystyle \frac{i(2n+1) }{4 \pi \mu k_T}
e_{rqi}\partial_q^x {\cal O}_n^m(k_T,\overrightarrow{Ox})$ (8)
$\displaystyle D^{L,{\cal O}}_{i,n,m}(\overrightarrow{Ox})$ = $\displaystyle \frac{i k_L(2n+1) }{4 \pi \mu k_T^2}
\partial_i^x{\cal O}_n^m(k_L,\overrightarrow{Ox})$ (9)

また, ${\cal O}_n^m,{\cal I}_n^m$には次節の定式化で必要な次の関係式 [17]がある.
 
$\displaystyle {\overline{{\cal I}}_n^m(k,\overrightarrow{O'y}) =}$
    $\displaystyle \sum_{n'=0}^{\infty}\sum_{m'=-n'}^{n'}
\sum_{\scriptstyle l=\vert...
...^{-m'}_{n'}(k,\overrightarrow{Oy}) \ {\cal I}_l^{-m-m'}(k,\overrightarrow{O'O})$  
      (10)


 
$\displaystyle {{\cal O}_n^m(k,\overrightarrow{Ox})= }$
    $\displaystyle \sum_{n'=0}^{\infty}\sum_{m'=-n'}^{n'}
\sum_{\scriptstyle l=\vert...
...Ox_0})
\quad \vert\overrightarrow{Ox_0}\vert > \vert\overrightarrow{x_0 x}\vert$ (11)

ここに, Wn,n',m,m',l

\begin{eqnarray*}W_{n,n',m,m',l}=
(2l+1)i^{n'-n+l}\left( { n \atop 0 }{ n' \atop...
...t) \left( { n \atop m }{ n' \atop m' }
{ l \atop -m-m'}\right)
\end{eqnarray*}


であり, $\left( { ・ \atop ・ }{ ・ \atop ・ }
{ ・ \atop ・}\right)$ は 次式で定義されるWigner-3j symbolである[26].

\begin{eqnarray*}\lefteqn{\left( { j_1 \atop m_1 }{ j_2 \atop m_2 }
{ j_3 \atop...
...\right.\\
&&\left.(j_3-j_2+m_1+i)!(j_3-j_1-m_2+i)!\right\}^{-1}
\end{eqnarray*}


上式で,i $\{\mbox{ }\}$ 内のすべての階乗をとる数が非負であるような 有限の範囲を動く.
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Ken-ichi Yoshida
2000-08-31