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多重極展開と多重極モーメント


  
Figure 1: 多重極展開
\begin{figure}
\begin{center}
\epsfxsize=8cm
\leavevmode
\epsffile{FIG/fig.eps}
\end{center}\end{figure}

今,開口変位 $\mbox{\boldmath$\space \phi $ }$ が既知であるとする.この時クラック上の点 $\mbox{\boldmath$\space x $ }$ において式(3)の積分を評価することを考える.この際,基本 解には $\mbox{\boldmath$\space x $ }$ においてO(1/r)の特異性があるので,点 $\mbox{\boldmath$\space x $ }$ の近傍か らの寄与は正確に評価しなければならないが, $\mbox{\boldmath$\space x $ }$ から離れた S の部分 S0 からの式(3)の積分への寄与は,ひとまとめにして評価 しようというのが多重極法である.そこで, $\mbox{\boldmath$\space x $ }$S0 から十分遠く, |Ox|>|Oy| $(\mbox{\boldmath$\space y $ } \in S_0)$であるようなOを考える(図-1). そこで,式(7)を使うと,式(3)の積分は次 のように書ける.
 
    $\displaystyle \mbox{p.f.}\int_{S_0}
C_{jktp} \frac{\partial^2}{\partial x_{l}\p...
... $ })
\phi_{j}(\mbox{\boldmath$ y $ }) dS_{y}\quad \mbox{\boldmath$ x $ } \in S$  
    $\displaystyle =\sum_{n=0}^{\infty} \sum_{m=-n}^{n}
\partial_l^x D^{T,{\cal O}}_...
...m=-n}^{n}
\partial_l^x D^{L,{\cal O}}_{i,n,m}(\overrightarrow{Ox})
M^L_{n,m}(O)$  

ここに, MTr(O),ML(O)はOに関する多重極モーメントであり,以下のよう に表される.
  
$\displaystyle M^T_{r,n,m}(O)=\int_{S_0}
C_{jktp}e_{rsp}\partial_t^y\partial_s^y...
...rrow{Oy})
\phi_{j}(\mbox{\boldmath$ y $ }) n_{k}(\mbox{\boldmath$ y $ }) dS_{y}$     (12)
$\displaystyle M^L_{n,m}(O)=\int_{S_0}
C_{jktp}\partial_t^y \partial_p^y\overlin...
...rrow{Oy})
\phi_{j}(\mbox{\boldmath$ y $ }) n_{k}(\mbox{\boldmath$ y $ }) dS_{y}$     (13)

MTr,n,mはベクトル,MLn,mはスカラーであるので,この定式化は4 つのモーメントを含んでいる事がわかる.
次に,多重極モーメントを評価する際の原点を O から O'に移動した時の,多重極モーメントを変換する式を導出する(図-1). 式(10)と式(13),式(14)より 次の多重極モーメントの原点移動の式が得られる.
 
$\displaystyle M_{r,n,m}^T(O')=
= \sum_{n'=0}^{\infty}\sum_{m'=-n'}^{n'}
\sum_{\...
... W_{n,n',m,m',l}
{\cal I}_l^{-m-m'}(k_T,\overrightarrow{O'O}) M_{r,n',-m'}^T(O)$     (14)


 
$\displaystyle M_{n,m}^L(O')
= \sum_{n'=0}^{\infty}\sum_{m'=-n'}^{n'}
\sum_{\scr...
...'} W_{n,n',m,m',l}
{\cal I}_l^{-m-m'}(k_L,\overrightarrow{O'O}) M_{n',-m'}^L(O)$     (15)



Ken-ichi Yoshida
2000-08-31