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局所展開係数

積分方程式(3)を選点法によって解く場合,S 上の多くの点 $\mbox{\boldmath$\space x $ }$ で式(3)に含まれる積分を評価しなければならない.しか し,これらを個々の $\mbox{\boldmath$\space x $ }$ について直接評価したのではあまり計算効率が高くな い.そこで,ある点 $\mbox{\boldmath$\space x $ }_0$ の近傍の点 $\mbox{\boldmath$\space x $ }$ については, $\mbox{\boldmath$\space x $ }_0$ か ら遠くはなれた S の部分 S0 からの式(3)への寄与を, 点 $\mbox{\boldmath$\space x $ }_0$ における何らかの級数展開の係数として評価することを考える (図-1).具体的には, $\vert\overrightarrow{Ox_0}\vert>\vert\overrightarrow{x_0 x\vert}$ となる点 $\mbox{\boldmath$\space x $ }$の近傍 $\mbox{\boldmath$\space x $ }_0$ を考えると,式(11)より,次式を得る.

 
    $\displaystyle \mbox{p.f.}\int_{S_0}
C_{jktp} \frac{\partial^2}{\partial x_{l}\p...
... $ })
\phi_{j}(\mbox{\boldmath$ y $ }) dS_{y}\quad \mbox{\boldmath$ x $ } \in S$  
    $\displaystyle = \sum_{n=0}^{\infty} \sum_{m=-n}^{n}
\partial_l^x D^{T,\overline...
...ne{\cal I}}_{i,n,m}(\overrightarrow{x_0 x})
L^L_{n,m}(\mbox{\boldmath$ x $ }_0)$  

ここに,
 
$\displaystyle L_{r,n,m}^T(\mbox{\boldmath$ x $ }_0)=
\sum_{n'=0}^{\infty}\sum_{...
...m,l}
\widetilde{{\cal O}}_l^{-m-m'}(k_T,\overrightarrow{Ox_0})
M_{r,n',m'}^T(O)$     (16)


 
$\displaystyle L_{n,m}^L(\mbox{\boldmath$ x $ }_0)=
\sum_{n'=0}^{\infty}\sum_{m'...
...',m,l}
\widetilde{{\cal O}}_l^{-m-m'}(k_L,\overrightarrow{Ox_0})
M_{n',m'}^L(O)$     (17)

となり, $L^T_{r,n,m}(\mbox{\boldmath$\space x $ }_0)$ $L^L_{n,m}(\mbox{\boldmath$\space x $ }_0)$ $\mbox{\boldmath$\space x $ }_0$ を 展開中心とした局所展開係数と呼ぶ.また, $D^{T,\overline{\cal I}}$ $D^{L,\overline{\cal I}}$は式(8),式(9)の$\cal O$ $\overline{\cal
I}$に入れ替えたものであり, $\widetilde{\cal O}_n^m$

\begin{eqnarray*}\widetilde{\cal O}_n^m(k,\overrightarrow{Ox})=
h_n^{(1)}(k\vert\overrightarrow{Ox}\vert) \overline{Y}_n^m(\widehat{Ox})
\end{eqnarray*}


を意味する. 次に,展開中心を $\mbox{\boldmath$\space x $ }_0$ から $\mbox{\boldmath$\space x $ }_1$ に移動した時の局所展開係数 の変換式を求める(図-1). 式(10)より $\mbox{\boldmath$\space x $ }_1$ を展開中心とした 局所展開係数 $L_{r,n,m}^T(\mbox{\boldmath$\space x $ }_1)$ $L_{n,m}^L(\mbox{\boldmath$\space x $ }_1)$ $L_{r,n,m}^T(\mbox{\boldmath$\space x $ }_0)$ $L_{n,m}^L(\mbox{\boldmath$\space x $ }_0)$ を用いて以下のように表 される.
 
$\displaystyle L_{r,n,m}^T(\mbox{\boldmath$ x $ }_1)=
\sum_{n'=0}^{\infty}\sum_{...
..._l^{m-m'}(k_T,\overrightarrow{x_0 x_1}) L_{r,n',m'}^T(\mbox{\boldmath$ x $ }_0)$     (18)


 
$\displaystyle L_{n,m}^L(\mbox{\boldmath$ x $ }_1)=
\sum_{n'=0}^{\infty}\sum_{m'...
...I}_l^{m-m'}(k_L,\overrightarrow{x_0 x_1}) L_{n',m'}^L(\mbox{\boldmath$ x $ }_0)$     (19)

式(20),式(21) が局所展開係数の移動公式である.

以上で多重極法のアルゴリズムに必要な式はすべて揃ったことになる.



Ken-ichi Yoshida
2000-08-31