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無限和の打ち切り項数について

数値計算では式 (7),(12),(15)-(21) に現れる無限和は有限項で打ち切らなければならない.式(6)に ついては,打ち切り項数p
 
$\displaystyle p = k R + 5 \ {\rm ln}(\pi + k R )$     (20)

とすることで相対誤差10-6の精度が得られる [28](図-2). ここに,kは波数,Rはソースの cell に外接する球の直径を表し, cell の一辺の長さの$\sqrt{3}$倍になる.式(22)は周波数が高くなっ たり,cell のサイズが大きくなると,精度を保つためにはより多くの項 が必要となり,計算量もそれにつれて増えることを意味して いる.これが,多重極法をkRの大きな問題に適用する上での問題の一つになってい る.これを解決するための手法として diagonal form が提案されている事は前 述のとおりである.本論文では,式(22)に従い,各 level の cell で の多重極モーメントや局所展開係数の必要となる項数を決めることにする.具体 的に書くと,式(12)の無限和がpで打ち切られるので必要と なる多重極モーメントは $0 \le n \le p$となる.式(15), (16),(18)-(21)の n,n'は $0 \le n,n' \le p$で, l $0 \le l \le 2p$となる.また,式(17)のn $0 \le n \le p$である.level によらずpを一定として計算しようとすると,pは必 然的に level 2で必要な項数となるので,このように各 level ごとに項数を変 化させる方が計算量の節約になる.
  
Figure 2: 打ち切り項数とkRの関係
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\epsfxsize=8cm
\epsffile{FIG/utikiri.eps}
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Ken-ichi Yoshida
2000-08-31